Vektorpotenciál (matematika)

A vektorpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Induljunk ki egy vektormezőből (B). A vektorpotenciál (A) az a vektormező, amelynek az adott vektormező a rotációja:

$𝐁(𝐫)=\mathrm{rot}𝐀(𝐫)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐫)$

Ha a vektormező differenciálható, akkor és csak akkor létezik vektorpotenciálja, ha forrásmentes, vagyis örvénymező. Mivel mágneses monopólusok nincsenek, ezért a mágneses mező forrásmentes.

A mágneses mező örvényes volta következtében áramok jelenlétében nem jellemezhető skalárpotenciállal. Az elektromágneses tér számításánál a mágneses vektorpotenciál bevezetése nyújtja a megoldást. Ugyanis az Aharonov-Bohm-hatás nem magyarázható csupán a $𝐁(𝐫)$ áramsűrűséggel.

A vektorpotenciál felhasználásával egyszerűbbé válnak a Maxwell-egyenletek, ezzel láthatóvá válik, hogy a $𝐣(𝐫)$ helyfüggő áramsűrűséggel vett konvolúció vektorpotenciálja számítható adott áramsűrűség vektorpotenciáljaként is, és innen számítható a mágneses indukció és az áramsűrűség is.

Definíció

A $𝐁(𝐫)$ forrásmentes vektormező vektorpotenciálja az az $𝐀(𝐫)$ vektormező, amelyre

$𝐁(𝐫)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐫)$

ahol is $\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐫)$ a rotáció. A forrásmentességnek azért kell teljesülnie, mert

$\mathrm{div}𝐁=\mathrm{divrot}𝐀=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=0$

minden kétszer differenciálható vektormezőre.

Az elektrodinamikában az $𝐄(𝐫,t)$ elektromos mezőre

$𝐄(𝐫,t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(𝐫,t)-{\partial }_t𝐀(𝐫,t)$

ahol $\mathrm{\Phi }$ skalárpotenciál.

Kiegészítve a Lorenz-mértékkel levezethetők a Maxwell-egyenletek. A magnetosztatikában a Coulomb-mértéket használják, ami az előbbi statikus határesete.

A kvantumelektrodinamikában és a relativitáselméletben a skalár- és vektorpotenciált a négyespotenciálban foglalják össze:

$A^{\mu }=(\mathrm{\Phi }/c,𝐀)$

Tulajdonságok

(1) A vektorpotenciál csak egy gradiensmező erejéig meghatározott a gradiensmező örvénymentessége miatt. Tehát minden $\chi (𝐫,t)$ skalármezőre

$𝐀(𝐫,t{)}^{\prime }=𝐀(𝐫,t)+\mathrm{\nabla }\chi (𝐫,t)$

$\Rightarrow 𝐁(𝐫,t{)}^{\prime }=\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐫,t{)}^{\prime }=\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐫,t)+\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\chi =\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐫,t)=𝐁(𝐫,t).$

A különböző mértékkel ellátott vektorpotenciálok is ugyanazt a mágneses mezőt adják. Ez a mágneses mező mértékinvarianciája.

(2) A vektorpotenciál nem konzervatív. Ha mégis, akkor az $\alpha$ skalármező gradiense lenne, így:

$𝐁(𝐫)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐫)=\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\alpha \equiv 0.$

(3) A magnetosztatikában a Coulomb-mérték szerinti vektorpotenciál forrásmentessé tehető:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀(𝐫)=0$.

(4) Ezzel szemben az elektrodinamikában nem statikus viselkedés esetén azonban többnyire a Lorenz-mértékre van szükség. Ekkor ugyanis az elektromágneses hullámmező számításához fontossá válik a következő kapcsolat:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀(𝐫,t)+\frac{1}{c^2}{\partial }_t\mathrm{\Phi }(𝐫,t)=0.$ Ahol $\mathrm{\Phi }(𝐫,t)$ skalárpotenciál, és $c$ a vákuumbeli fénysebesség.

(5) A magnetosztatikában a vektorpotenciál teljesíti a Poisson-egyenletet, amire (a vákuum ${ϵ}_0$ permittivitásával és a vákuum ${\mu }_0$ permeabilitásával):

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀(𝐫)=-\frac{1}{{\epsilon }_0{c}^2}𝐣\equiv -{\mu }_0𝐣$.

Innen a vektorpotenciál kifejezése konvolúció felhasználásával: (lásd Green-függvény):

$𝐀(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐣({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }.$

A $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$ és a $\mathrm{\nabla }\times 𝐀$ kifejezéseket $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐀$ és $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀$ is jelölheti.

(6) Az elektrodinamikában a Poisson-egyenlet kiterjeszthető a vektorpotenciálra felírt (inhomogén) hullámegyenletté:

$◻𝐀(𝐫)={\mathrm{\nabla }}^2𝐀(𝐫)-\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}𝐀(𝐫)=-\frac{1}{{\epsilon }_0{c}^2}𝐣$,

ahol $◻$ a d'Alembert-operátor.

Az egyenlet (inhomogén) megoldása a késleltetett vektorpotenciál:

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐣({𝐫}^{\prime },t^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$, mit $t^{\prime }=t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$.

A homogén megoldást a kezdeti feltételek teszik egyértelművé.

(7)A vektorpotenciál $A_x$, $A_y$ és $A_z$ komponensei és a $\mathrm{\Phi }/c$ skalárpotenciál az elektrodinamikában négyesvektorrá foghatók össze, amit a Lorentz-transzformációk Albert Einstein speciális relativitáselméletében a (x, y, z ,ct) négyessé transzformálnak. Itt c a vákuumbeli fénysebesség.

Kapcsolat a skalárpotenciállal

A Helmholtz-tétel miatt (majdnem) minden $\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r})$ vektormező előáll az $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$ és a $\overrightarrow{G}(\overrightarrow{r})$ vektormezők szuperpozíciójaként. $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$ egy $\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$ skalármező gradiense, $\overrightarrow{G}(\overrightarrow{r})$ egy $\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r})$ vektormező rotációja:

$\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})+\overrightarrow{G}(\overrightarrow{r})=\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})+\mathrm{rot}\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r})$

Ha $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$ konzervatív erőtér, ahol az $\overrightarrow{F}$ erő a legkisebb kényszer elve szerint mindig a $\mathrm{\Phi }$ potenciál legnagyobb meredeksége felé irányul, akkor az egyenlet a következő alakra hozható:

$\overrightarrow{H}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})+\overrightarrow{G}(\overrightarrow{r})=-\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})+\mathrm{rot}\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}(\overrightarrow{r}).$

Irodalom

• Dr. Fodor György: Elektromágneses terek, Műegyetemi Kiadó, 1993.
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, Sablon:ISBN