Logaritmikus spirál

A spirális galaxisok karjai gyakran logaritmikus spirál alakúak

A logaritmikus spirál a spirális síkgörbék egy fajtája, mely gyakran figyelhető meg a természetben. A logaritmikus spirált először Descartes írta le, majd később behatóan tanulmányozta Jakob Bernoulli, aki Spira mirabilisnak, vagyis „csodálatos spirál”nak nevezte.

Definíció és tulajdonságok

Polárkoordinátákkal felírva egyenlete:

r = a e^{b θ}

vagy

θ = \frac{1}{b} \ln (\frac{r}{a})

innen származik a „logaritmikus” név is. Paraméteres alakban a görbe egyenletrendszere:

x (t) = r \cos (t) = a e^{b t} \cos (t)

y (t) = r \sin (t) = a e^{b t} \sin (t)

ahol a és b valós szám.

Egy tetszőleges pontjába a pólusból húzott sugár és a ponthoz tartozó érintő által bezárt szög állandó:

ψ = arccot b

A b paramétertől függ , hogy milyen gyorsan „tágul” a spirál és hogy melyik irányba csavarodik. Speciális esetben , ha a b = 0, a spirál a sugarú körré fajul. Ha a b paraméter végtelenhez tart, a spirál egyeneshez közelít.

A görbületi sugár:

ρ = r \sqrt{1 + b^{2}}

A $\overline{P T}$ a spirál érintője P pontban:

\overline{P T} = r \frac{\sqrt{1 + b^{2}}}{b}

\overline{O T} = \frac{r}{b}

Az r polársugarú P és r₁ polársugarú P₁ pont közötti ívhossz:

\hat{P P_{1}} = s = \frac{\sqrt{1 + b^{2}}}{b} (r - r_{1})

Az OP₁P szektorterület:

O P_{1} P = \frac{1}{4 b} (r^{2} - r_{1}^{2})

A logaritmikus spirál evolutája egy, az eredeti görbével kongruens görbe, mely az eredetihez képest $\frac{π}{2} - \frac{\ln b}{b}$ szöggel elfordítva:

r = a e^{b (θ - \frac{π}{2} + \frac{\ln b}{b})}

Csodálatos spirál

A logaritmikus spirálnak a Spira mirabilis (latinul csodálatos spirál) nevet Jakob Bernoulli adta, mivel el volt ragadtatva a görbe egyedülálló matematikai tulajdonságaitól: a görbe méretei állandóan nőnek, de alakja változatlan marad bármely további csavarodással. Bernoulli kívánsága az volt, hogy sírkövére kerüljön fel ez a csodálatos görbe, de tévedésből egy arkhimédészi spirált véstek be. A logaritmikus spirál és az arkhimédészi spirál között a fő különbség az, hogy az utóbbinál a görbe minden fordulata közötti távolság állandó, a logaritmikus spirálnál azonban mértani sorozat szerint nő. Valószínűleg ez az oka annak, hogy több növekedéssel összefüggő természetes forma is logaritmikus spirál alakú, mint például a napraforgó magjainak elhelyezkedése a tányéron vagy az ammoniteszek háza, melyek mészkőbe ágyazva gyakori kövületek.

A logaritmikus spirálok önmagukkal hasonlók és önmagukkal kongruensek minden hasonlósági transzformációra. (Nagyításuk-kicsinyítésük ugyanazt eredményezi, mint elforgatásuk a pólus körül.) Nagyításuk $b^{2 π}$ tényezővel az eredeti görbét adja. Szintén kongruensek evolutáikkal és evolvenseikkel.

Ha egy tetszőleges P ponttól a pólus felé haladunk a görbe mentén, a pólust csak végtelen sok fordulat után érhetjük el annak ellenére, hogy a pólustól való távolság véges ( $r / \cos α$ ). Ezt a tulajdonságát Evangelista Torricelli fedezte fel még a differenciálszámítás feltalálása előtt.