Wedderburn-tétel

Wedderburn tétele az absztrakt algebrai tételek közé tartozik. Azt állítja, hogy minden véges ferdetest test, vagyis a szorzás kommutatív. Tehát a végességből következik a kommutativitás. Ebből azonnal adódik, hogy egy olyan ferdetest, ami nem test, végtelen sok elemet tartalmaz; ilyen például a kvaterniók ferdeteste.

A tételt először Joseph Wedderburn bizonyította be 1905-ben. Azóta más matematikusok újabb bizonyításokat is találtak; köztük talán Ernst Witt alábbi gondolatmenete a legismertebb.

Bizonyítás (Witt, 1931)

Tétel: Minden véges ferdetest kommutatív.

Bizonyítás: Legyen $𝔻$ véges ferdetest. Tekintsük $𝔻$ centrumát; ez test. Jelöljük ezt a testet $𝔽$-fel, elemszámát q-val. $𝔻$ n dimenziós vektortér F fölött egy n természetes számra.

$𝔻$ elemszáma ezzel qⁿ, ezért multiplikatív csoportja qⁿ-1 elemű (nem tartalmazza a nullelemet). Megmutatható, hogy ennek centruma F multiplikatív csoportja. Legyen $a\in 𝔻\setminus 𝔽.$

Vegyük a centralizátorát. Ez azokból az elemekből áll, amikkel a felcserélhető. Ez részferdetest $𝔻$-ben; elemszáma q^d, ahol d osztója n-nek. Ennek multiplikatív csoportja megegyezik a $𝔻$ multiplikatív csoportjában vett centralizátorral.

$𝔻$ multiplikatív csoportjának osztályegyenletével

$q^n-1=q-1+\sum _{d<n:d\mid n}\frac{q^n-1}{q^d-1}$

Az n-edik körosztási polinom osztója az $\frac{x^n-1}{x^d-1}$ hányadosnak minden d < n osztóra.

Ebből ${\mathrm{\Phi }}_n(q)\mid q-1,$ ahol $q\ge 2.$ Ez csak úgy lehet, hogy n = 1, tehát $𝔽=𝔻$.

Források

• Pelikán József: Algebra