Viriáltétel

A mechanikában a viriáltétel általános összefüggést ad valamely, helyzeti erők által határolt, N részecskét tartalmazó stabil rendszer időbeli átlagos teljes kinetikus energiája ($⟨T⟩$) és időbeli átlagos teljes helyzeti energiája ($⟨V_{\text{TOT}}⟩$) között (a szögletes zárójelek a zárójelben lévő mennyiség időbeli átlagát jelölik). Matematikailag az elmélet állítása:

$2⟨T⟩=-\sum _{k=1}^N⟨{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k⟩$

ahol F_k a k-ik részecskére ható erő, mely az r_k pozícióban van.

A ’viriál’ szó a latin 'vis'-ből származik, mely erőt, vagy energiát jelent. A definíciót Rudolf Clausius német fizikus adta meg 1870-ben. A viriáltétel jelentősége az, hogy lehetővé teszi az átlagos kinetikus energia kiszámítását, még komplikált rendszerek esetén is, amikor a statisztikai mechanika módszereivel ez nem oldható meg. Ez az átlagos, és teljes kinetikus energia az ekvipartíció-tételhez hasonlóan kapcsolódik a rendszer hőkapacitásához. A viriáltétel akkor is érvényes, ha egy rendszer nincs termikus egyensúlyi állapotban. A viriáltételt sokféleképpen szokták általánosítani, a legjobban ismert eljárás, a tenzoros forma. Ha egy rendszerben két részecske között ható erő a potenciális energiából V(r) = αr ⁿ származik, akkor ez arányos a részecskék közötti átlagos távolsággal r, és felírhatjuk az elmélet egyszerűbb formuláját:

$2⟨T⟩=n⟨V_{\text{TOT}}⟩.$

Vagyis a teljes átlagos kinetikus energia $⟨T⟩$ kétszerese egyenlő az átlagos teljes helyzeti energia n-szeresével $⟨V_{\text{TOT}}⟩$. A V(r), két részecske közötti helyzeti energia, V_TOT a rendszer teljes helyzeti energiája, azaz, a V(r), helyzeti energiák szummája, az összes részecskepárra vonatkozik. Egy példa az ilyen rendszerekre a csillag, melyet saját gravitációja tart össze, ahol n egyenlő −1.

Definíciók

N számú részecske esetén az I a tehetetlenség skalár momentuma (lendülete):

$I=\sum _{k=1}^N{m}_k|{𝐫}_k{|}^2=\sum _{k=1}^N{m}_k{r}_k^2$

ahol m_k és r_k jelölik a k-ik részecske tömegét és pozícióját. . r_k=|r_k| a vektor pozíció vektor nagyságrendje. A skalár viriális G:

$G=\sum _{k=1}^N{𝐩}_k\cdot {𝐫}_k$

ahol p_k a k –ik részecske momentum vektora. Feltételezve, hogy a tömegek állandóak, a viriális G, fele a tehetetlenségi momentum idő szerinti deriváltja

$\frac{1}{2}\frac{dI}{dt}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\sum _{k=1}^N{m}_k{𝐫}_k\cdot {𝐫}_k=\sum _{k=1}^N{m}_k\frac{d{𝐫}_k}{dt}\cdot {𝐫}_k=\sum _{k=1}^N{𝐩}_k\cdot {𝐫}_k=G.$

fordítva:

$\begin{array}{cc}\frac{dG}{dt}& =\sum _{k=1}^N{𝐩}_k\cdot \frac{d{𝐫}_k}{dt}+\sum _{k=1}^N\frac{d{𝐩}_k}{dt}\cdot {𝐫}_k\\ & =\sum _{k=1}^N{m}_k\frac{d{𝐫}_k}{dt}\cdot \frac{d{𝐫}_k}{dt}+\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k\\ & =2T+\sum _{k=1}^N{𝐅}_k\cdot {𝐫}_k,\end{array}$

ahol m_k a k-ik részecske tömege, ${𝐅}_k=\frac{d{𝐩}_k}{dt}$ a tiszta erő, mely a részecskére hat, és T a rendszer teljes kinetikus energiája: $T=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N{m}_k{v}_k^2=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N{m}_k\frac{d{𝐫}_k}{dt}\cdot \frac{d{𝐫}_k}{dt}.$

Általánosítás

1903-ban Lord Rayleigh publikált egy általánosítást a viriáltételre. Henri Poincaré a kozmológia stabilitással kapcsolatban használta a viriáltétel egy képletét. Ledoux, 1945-ben fejlesztett ki egy változatot az elméletre. Egy tenzoros formulát fejlesztett Parker. Chandrasekhar és Fermi. Pollard 1964-ben publikálta a viriális elmélet általánosítását az inverz négyzetes törvény esetére : $2\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tau \to +\mathrm{\infty }}⟨T{⟩}_{\tau }=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tau \to +\mathrm{\infty }}⟨U{⟩}_{\tau }$ igaz, és csak akkor igaz, ha $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\tau \to +\mathrm{\infty }}{\tau }^{-2}I(\tau )=0.$ .

Az elektromágneses tér és a viriáltétel

A viriáltétel kiterjeszthető az elektromágneses térre. Az eredmény:

$\frac{1}{2}\frac{d^{2}I}{d{t}^2}+\underset{V}{\int }{x}_k\frac{\partial G_k}{\partial t}{d}^{3}r=2(T+U)+W^E+W^M-\int x_k(p_{ik}+T_{ik})d{S}_i,$

ahol I a tehetetlenségi momentum, a G az elektromágneses tér momentum sűrűsége, T a folyadék kinetikus energiája, U a részecskék véletlenszerű termikus energiája, W^E és W^M az elektromos – és elektromágneses energiák. p_ik a folyadék-nyomás tenzor, a lokális mozgó koordináta-rendszerben kifejezve.

$p_{ik}=\mathrm{\Sigma }{n}^{\sigma }{m}^{\sigma }⟨v_i{v}_k{⟩}^{\sigma }-V_i{V}_k\mathrm{\Sigma }{m}^{\sigma }{n}^{\sigma },$

és T_ik az elektromágneses nyomás tenzor,

$T_{ik}=(\frac{{\epsilon }_0{E}^2}{2}+\frac{B^2}{2{\mu }_0}){\delta }_{ik}-({\epsilon }_0{E}_i{E}_k+\frac{B_i{B}_k}{{\mu }_0}).$

A plazmoid, a mágneses tér és a plazma végső konfigurációja. A viriáltétel alapján könnyen belátható, hogy ilyen konfiguráció létrejöhet, ha nem éri külső erőhatás. Nyomás nélkül a felületi integrál eltűnik az ilyen végső konfigurációnál.. Mivel az összes jobb oldali kifejezés pozitív, a tehetetlenségi momentum gyorsulása szintén pozitív lesz. A kiterjedési időt is egyszerű megjósolni τ. Ha a teljes tömeget, M egy R átmérő korlátozza, akkor a tehetetlenségi momentum nagyjából MR², és a bal oldal MR²/τ². A jobb oldali kifejezések összeadódnak közel pR³-é, ahol p a nagyobb plazma nyomás vagy mágneses nyomás. E kettő kifejezést egyenlővé téve, és megoldva τ-re, kapjuk:

$\tau \sim R/c_s,$

ahol c_s az ion-akusztikus hullám (vagy Alfvén-hullám, ha a mágneses nyomás magasabb,mint a plazma nyomás) sebessége. Így a plazmoid várható élettartama az akusztikus vagy Alfvén-hullám átmeneti ideje lesz.

Asztrofizika

A viriáltételt gyakran alkalmazzák az asztrofizikában, különösen a gravitációs helyzeti energia, és a kinetikus-, vagy termikus energia összefüggésében. Egy általános viriális összefüggés: $\frac{3}{5}\frac{GM}{R}=\frac{3}{2}\frac{k_{B}T}{m_p}=\frac{1}{2}{v}^2$, ahol $M$, a tömeg, $R$,az átmérő $v$, a sebesség, és $T$, a hőmérséklet A konstansok: Gravitációs állandó: $G$, Boltzmann-állandó: $k_B$, Proton tömege: $m_p$.

Galaxisok és kozmológia

Az asztronómiában, a galaxisok méretét és tömegét gyakran a „viriális átmérő”, és a „viriális tömeg” kifejezéseivel határozzák meg. A galaxisok méreteit igen nehéz meghatározni. A viriáltétel gyakran kényelmes módszert ad ezen mennyiségek meghatározására. A galaxisok dinamikájába, a tömeg meghatározása gyakran a gázok és csillagok forgási sebességével történik, feltételezve a kepleri pályákat. A viriáltételt alkalmazva felhasználható a sebesség diszperzió, $\sigma$. Ha vesszük a részecskénti kinetikus energiát, T = (1/2) v² ~ (3/2) M $\sigma$², és a potenciális energiát: U ~ (3/5)(GM/R), irhatjuk: $\frac{GM}{R}\approx {\sigma }^2$. Itt az $R$ az átmérő, $M$ , az átmérőn belüli tömeg. A viriális tömeget, és átmérőt általában arra az átmérőre határozzák meg, ahol a sebesség diszperzió maximum: $\frac{G{M}_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}\approx {\sigma }_{\text{max}}^2$. Ezek az összefüggések nagyságrendi információt adnak. Egy alternatív meghatározás: Mivel az átmérőt igen nehéz megfigyelni, gyakran közelítik úgy, hogy a sűrűség nagyobb egy specifikus tényezővel, mint a kritikus sűrűség, ${\rho }_{\text{crit}}=\frac{3H^2}{8\pi G}$, ahol a $H$ a Hubble-paraméter, és a $G$ a gravitációs állandó. Egy általánosan használt tényező a 200. Így a viriális tömeg az átmérőhöz képest: $M_{\text{vir}}\approx M_{200}=(4/3)\pi r_{200}^3\cdot 200{\rho }_{\text{crit}}$.

Irodalom

• Sablon:CitLib

További információk

• http://www.mathpages.com/home/kmath572/kmath572.htm
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/gravc.html#c2

Kapcsolódó szócikkek

• Plazma
• Plazmoid
• Hubble-paraméter
• Alfvén-hullám
• Hőkapacitás

Fordítás

• Sablon:Fordítás