Vektorpotenciál (fizika)

A vektorpotenciál az elektrodinamikában az a vektormennyiség, amelynek rotációja a mágneses indukció.Sablon:Refhely

Mágneses vektorpotenciál

Az időben állandó áramok által létrehozott stacionárius mágneses teret leíró egyenletek lineáris és izotróp közegben a Maxwell-egyenletek megfelelő egyszerűsítésével:

$\mathrm{rot}𝐇=𝐉$

$\mathrm{div}𝐁=0$

$𝐁=\mu {\mu }_0𝐇$

ahol a H a mágneses térerősség, B a mágneses indukció, j az áramsűrűség, és µ és µ₀ a közeg és a vákuum permeabilitása, amelyről feltételezzük, hogy térrészenként állandó. Mivel H nem örvénymentes, ezért nem állítható elő egy egyértékű skalár potenciál gradienseként. Általános esetben B indukciójú mágneses mezőt az A vektorpotenciállal jellemezhetünk. Bármely divergenciamentes B vektor előállítható egy alkalmas A vektor, a (mágneses) vektorpotenciál rotációjaként. (SI egysége: T/m = Vs/m) Mivel div rot A = 0, ezek szerint

$𝐁=\mathrm{rot}𝐀$

A vektorpotenciált a mezőt gerjesztő áramok (áramsűrűségek) határozzák meg:

$𝐀(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐣({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$

Elektromos vektorpotenciál

Az elektromos térerősség kifejezhető az $𝐀=𝐀(r,t)$ elektromos vektorpotenciál rotációjának és az U elektrosztatikus potenciál gradiensének összegeként:

$𝐄=-{\partial }_t𝐀-\mathrm{\nabla }U$

A forrásmentesség miatt

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐁=0$     és

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀=0$.

Ezeket egymásból kivonva, közös divergenciába írva:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(𝐁-\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀)=0$

teremt kapcsolatot $𝐁(r)$ és $𝐀(r)$ között.

Ebből

$𝐁=\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀$

vagyis $𝐁$ az örvénysűrűsége $𝐀$-nek, ahol az $𝐀$ örvénymező az elektromos vektorpotenciál, aminek csak időben változó elektromos terekben van értelme.

Mértékszabadság

Sablon:Bővebben A Maxwell-egyenletek elektromos és mágneses erőtereit származtathatjuk a skalárpotenciálból (elektrosztatikus potenciálból) és a vektorpotenciálból (mágneses vektorpotenciál). Ezek a potenciálok azonban nem szigorúan meghatározott mennyiségek. Régóta ismert, hogy az elektrosztatikus potenciálhoz hozzá lehet adni egy tetszőleges állandó mennyiséget, ezzel mintegy eltolva a helyzeti energia nullpontját. Az elektromos erőtér és a Maxwell-egyenletek változatlanok maradnak.

Ennél általánosabb szabadság is létezik a potenciálok megválasztásában. Tetszőleges hely- és időfüggésű $\psi (𝐱,t)$ függvényből kiindulva ennek gradiensét a vektorpotenciálhoz adva, ugyanakkor az inverz fénysebességgel szorzott parciális időderiváltját a skalárpotenciálból levonva az erőterek és a Maxwell-egyenletek változatlanok maradnak. Ezt hívjuk az elektrodinamika mértékszabadságának, a felvázolt transzformációt pedig mértéktranszformációjának.

Források

• Sablon:Hely Sablon:Cite book