Van Hove-szingularitás

A szilárdtestfizikában a van Hove-szingularitás egy szilárdtest állapotsűrűségének olyan anomális pontja, mely bizonyos esetekben szinguláris pont is lehet, mely esetben az állapotsűrűség divergálhat. Gyakran kvantumbezárás következtében lép fel, mely például a nanoszerkezetek esetén jellemző jelenség. Az állapotsűrűség szingularitásainak fontos szerepe van például a szilárd anyagok karakterisztikus optikai átmenetek, vagy gerjesztési jelenségeinek leírásakor.

Kritikus pontoknak nevezik a Brillouin-zóna azon pontjait (illetve az ezen pontokat megadó hullámszámvektorokat), melyekben ilyen szingularitása van az állapotsűrűségnek.

Nevét a belga fizikus Léon Van Hove-ról kapta, aki 1953-ban hívta fel a figyelmet arra, hogy a fononok állapotsűrűségében szinguláris pontok alakulhatnak ki.Sablon:H

Fizikai jellemzése

Fonon-állapotsűrűség

A fonon-állapotsűrűségben kialakuló van Hove-szingularitások elméleti kimutatása során az egyszerűség kedvéért egydimenziós rács rezgéseiből érdemes kiindulni. Ha $N$ darab atom egydimenziós láncát tekintjük, melyben a szomszédos atomok között nyugalmi helyzetben egyenlő $a$ távolság van, akkor a lánc teljes hossza $L=Na$. A láncon terjedő rezgések számára periodikus határfeltételt célszerű szabni:

$k=\frac{2\pi }{\lambda }=n\frac{2\pi }{L}$,

ahol $\lambda$ a hullámhossz, $n$ pedig egész szám, melynek pozitív értékei tartoznak az előrefelé, negatív értékei a visszafelé terjedő hullámmegoldásokhoz. A legrövidebb hullámhossz $2a$, melyből a fogalmak definíciói szerint kifejezhető a legnagyobb hullámszám: $k_{max}=\pi /a$, illetve a legnagyobb $n_{max}=L/2a$. A rácsrezgéseket reprezentáló fononok állapotsűrűségét (egy adott $[k;k+dk]$hullámszámtartományban található állapotok számát) az alábbiak szerint adhatjuk meg:

$g(k)dk=dn=\frac{L}{2\pi }dk$.

Három dimenzióban az alábbi eredményre jutottunk volna:

$g(\overrightarrow{k})d^{3}k=d^{3}n=\frac{L^3}{(2\pi {)}^3}{d}^{3}k$,

ahol $d^{3}k$ a hullámszámtérbeli térfogatelem, melyben az állapotokat összegezzük. A hullámszámok energiafüggésének (azaz a diszperziós relációnak) ismeretében, és a

$dE=\frac{\partial E}{\partial k_x}d{k}_x+\frac{\partial E}{\partial k_y}d{k}_y+\frac{\partial E}{\partial k_z}d{k}_z=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}E\cdot d\overrightarrow{k}$

láncszabály felhasználásával (itt $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ a hullámszámtérbeli gradients jelenti) az energiafüggő állapotsűrűség megadható :

$g(E)dE=\underset{\partial E}{\iint }g(\overrightarrow{k})d^{3}k=\frac{L^3}{(2\pi {)}^3}\underset{\partial E}{\iint }d{k}_{x}d{k}_{y}d{k}_z$,

Szimulált példa egy háromdimenziós szilárdtest állapotsűrűségének van Hove-szingularitásaira. A kritikus pontokat nyíl jelzi

ahol az integrálást az ekvienergiás $\partial E$ felületek mentén kell elvégezni. Az adott E energiához tartozó, hullámszámtérbeli pontok a k-térben felületet alkotnak, melyre E gradiensvektora minden pontban merőleges. Választható a hullámszámtérben egy új $k{\text{'}}_x,k{\text{'}}_y,k{\text{'}}_z$ koordináta-rendszer úgy, hogy $k{\text{'}}_z$ épp merőleges legyen a felületre, így $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}E$ irányába essen. Ha ezt az új koordináta-rendszert csupán elforgatással fedésbe lehet hozni $k_x,k_y,k_z$-vel, akkor a tárfogatelem azonos lesz: $dk{\text{'}}_{x}dk{\text{'}}_{y}dk{\text{'}}_z=d{k}_{x}d{k}_{y}d{k}_z$, így $dE=|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}E|dk{\text{'}}_z$ adódik, mellyel az energiafüggő állapotsűrűség:

$g(E)=\frac{L^3}{(2\pi {)}^3}\iint \frac{dk{\text{'}}_{x}dk{\text{'}}_y}{|\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}E|}$,

ahol $dk{\text{'}}_{x}dk{\text{'}}_y$ az ekvienergiás felület egy felületeleme.

A diszperziós reláció hatása az állapotsűrűségre

A fononok $g(E)$ állapotsűrűségének fenti kifejezéséből az következik, hogy ahol az $E(\overrightarrow{k})$ diszperziós relációnak extrémuma (azaz szélsőértéke, vagy inflexiója) van, ott a $g(E)$ állapotsűrűség anomális lesz. Ezen $k$ hullámszámokon tehát van Hove-szingularitások jelennek meg.

További számolással kimutatható, hogy a van Hove-szingularitás jellegét megszabja, hogy az adott $k$ hullámszámon a diszperziós relációnak lokális minimuma, lokális maximuma, illetve nyeregpontja van-e. Ezen kívül egyes dimenziókban a szingularitás jellege az alábbiak szerint különbözik:

• Háromdimenziós esetben $g(E)$ állapotsűrűség nem divergál, viszont a deriváltja igen, tehát $g(E)$-nek törései lesznek.
• Kétdimenziós esetben $g(E)$ logaritmikusan divergál (azaz igen lassan, de a végtelenbe tart)
• Egydimenziós esetben pedig magának a $g(E)$ állapotsűrűségnek is szakadása van, ahol $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}E$ értéke nulla.

Kísérleti megfigyelése

Egy szilárdtest optikai abszorpciós spektruma a sávszerkezetből származtatható a Fermi-féle aranyszabály alkalmazásával. Az aranyszabályban szereplő állapotsűrűség a vezetési és vegyértéksávok együttes sűrűségfüggvénye, azaz azon állapotok száma, melyek között adott energiakülönbség áll fenn. Olyan anyagok esetén, melyeknek állapotsűrűségében van Hove-szingularitások vannak, anomális spektroszkópiai jellemzőkre, például bizonyos energiákon kiugró átmenetekre lehet számítani.

Egyes alacsony dimenziós nanoszerkezetek (például nanoszalagok, nanopálcák, nanocsövek) optikai vizsgálata segít feltárni az állapotsűrűség szingularitásait, mellyel szerkezeti és elektronszerkezeti információk nyerhetők az anyagról.

Források

Szakkönyvek

• Sablon:Cite book
• Sablon:Href
• Sablon:CitLib
• Sablon:Href
• Sablon:Cite book

Tudományos közlemények

• Sablon:Href
• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal