Fermi-féle aranyszabály

A Fermi-féle aranyszabállyal magyarázható, hogy a gázok színképében vannak erősebb és gyengébb vonalak: ezek különféle valószínűségű elektronszerkezeti átmeneteknek felelnek meg

A Fermi-féle aranyszabály egy kvantummechanikai összefüggés, mellyel megadható, hogy egy folytonos energiaspektrumú, gyengén perturbált kvantumrendszer energia-sajátállapotai között milyen az átmenetek egységnyi időre vetített valószínűsége. Gyakori alkalmazása például az atomfizikában az elektromágneses sugárzás hatására történő atomi és molekulagerjesztések (és ezzel az atomi színképvonalak) leírása, illetve a magfizikában az atommagok energiaátmeneti valószínűségeinek jellemzése.

Bár a formula Enrico Fermi nevét viseli, mivel azt a fontossága miatt ő nevezte el „2. aranyszabálynak”, de elsősorban Paul Dirac elméleti fizikus eredményének tartják az összefüggés levezetését.

Az összefüggés

Legyen egy ${\hat{\mathscr{H}}}_0$ Hamilton-operátorral jellemzett rendszer egy kezdeti sajátállapota $|k⟩$. A rendszerre hat egy (esetleg időfüggő) $\widehat{{\mathscr{H}}^{\prime }}$ perturbáció.

Gyakori példák az alábbiak:

• időfüggetlen perturbáció esetén a rendszer a $|k⟩$ kezdeti sajátállapot sajátenergiájával megegyező energiájó állapotokba kerülhet;
• harmonikus időfüggésű, $\omega$ körfrekvenciájú perturbáció a rendszert a $|k⟩$ kezdeti sajátállapot sajátenergiájánál $\hslash \omega$ energiával kisebb, vagy nagyobb állapotba juttathatja.

A fentiekre egyaránt érvényes, hogy egy $|k⟩$ kezdeti állapot és sok lehetséges $|v⟩$ végső állapot között megadható átmeneti ráta (időegységnyi valószínűség) gyakorlatilag állandó:

$W_{k\to v}=\frac{2\pi }{\hslash }|⟨v|\widehat{{\mathscr{H}}^{\prime }}|k⟩{|}^2\rho$,

ahol $⟨v|\widehat{{\mathscr{H}}^{\prime }}|k⟩$ a $\widehat{{\mathscr{H}}^{\prime }}$ perturbáció braket-jelöléssel megadott megfelelő mátrixeleme $|k⟩$ kezdeti és $|v⟩$ végállapot között, $\rho$ pedig a végállapotok állapotsűrűsége.

Alkalmazások

Elektromágneses atomi gerjesztés

Egy $\omega$ körfrekvenciájú periodikus perturbáció esetén az átmeneti ráta a Fermi-féle aranyszabállyal adható meg. A harmonikus időfüggésű perturbációt az alábbiak szerint jellemezhetjük:

$\hat{V}(t)=(V^{(+)}{e}^{-i\omega t}+V^{(-)}{e}^{i\omega t})\theta (t)$,

ahol a perturbáció szorzójaként írt $\theta (t)$ Heaviside-függvény (lépcsőfüggvény) gondoskodik a bekapcsolásról, azaz hogy $t=0$ időpillanat előtt a rendszer perturbálatlan, majd ezt követően harmonikus perturbáció hatása alatt van. A $V^{(+)}$ legyen Hermitikus, azaz önadjungáltSablon:Wd operátor:

$V^{(+)}={\left(V^{(-)}\right)}^{+}$.

A fenti perturbáció megfelelhet például egy $t=0$-ig sajátállapotban levő, majd $t=0$ pillanattól kezdve elektromágneses hullámmal gerjesztett rendszernek, amennyiben a hullámhossz lényegesen nagyobb, mint a rendszer mérete. Azaz például leírható vele egy atom és egy elektromágneses hullám kölcsönhatása.

Tekintsük azt az esetet, amikor a $t=0$ után a periodikus perturbáció „bekapcsolva marad”. Ekkor igen sok idő után az átmeneti ráta állandósul, határértéke pedig:

$W_{n\to m}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{d{P}_{n\to m}}{dt}$.

A $P_{n\to m}$ átmeneti valószínűség ${\mathrm{\Omega }}_{+}={\omega }_m-{\omega }_n-\omega$ és ${\mathrm{\Omega }}_{-}={\omega }_m-{\omega }_n+\omega$ jelölésekkel:

$P_{n\to m}(t)=\frac{1}{{\hslash }^2}{\left|\underset{0}{\overset{t}{\int }}[V_{nm}^{(+)}{e}^{i{\mathrm{\Omega }}_{+}t}+V_{nm}^{(-)}{e}^{i{\mathrm{\Omega }}_{-}t}]dt\right|}^2$.

Az integrál elvégzése, majd a tagok komplex konjugáltjukkal beszorzása után az átmeneti valószínűség az alábbi alakra hozható:

$P_{n\to m}^{\pm }(t)=\frac{2\pi t}{{\hslash }^2}{\left|V_{mn}^{(\pm )}\right|}^2\cdot \delta ({\omega }_m-{\omega }_n\mp \omega )$.

Ez a függvény időben lineárisan nő. Az átmeneti ráta (időegység alatti valószínűség) ennek idő szerinti deriváltja, azaz időben állandó. A ráta frekvenciák helyett energiákkal is kifejezhető:

$W_{n\to m}^{\pm }=\frac{2\pi }{{\hslash }^2}{\left|V_{mn}^{(\pm )}\right|}^2\cdot \delta ({\omega }_m-{\omega }_n\mp \omega )=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|V_{mn}^{(\pm )}\right|}^2\cdot \delta ({\epsilon }_m-{\epsilon }_n\mp \hslash \omega )$,

amely a Fermi-féle aranyszabállyal megadott átmeneti ráta az adott gerjesztő perturbáció mellett.

A Dirac-delta függvény formálisan vagy végtelen, vagy nulla, így a fenti összefüggés úgy lesz konzisztens, ha a végállapotoknak olyan az állapotsűrűsége, hogy az integrál elvégezhető legyen. Ennek megfelelően a Fermi-aranyszabály fentiek szerint jellemzően olyan esetben alkalmazható, ha például egy atomi spektrumban megadható egy folytonos állapotsűrűség, és a kibocsátott, vagy elnyelt foton energiája is folytonos lehet.

Ha megadjuk, hogy az atomi spektrumban milyen a végállapotok $\rho (\epsilon )$ állapotsűrűsége (azaz az egységnyi $[\epsilon ;\epsilon +d\epsilon ]$energiatartományba eső állapotok száma), akkor a fenti összefüggés az alábbiak szerint írható át:

$W_n^{\pm }=\frac{2\pi }{\hslash }{\left|V_{mn}^{(\pm )}\right|}^2\rho (\epsilon )$.

Magfizikai γ-bomlás

A gamma-sugárzáshoz vezető bomlási magreakció elektromágneses természetű. A jelenség teljesebb leírásához relativisztikus kvantum-elektrodinamikai térelméleti leírás szükséges, de bizonyos feltételek mellett félklasszikus leírása is adható a Fermi-féle aranyszabály segítségével. Az elektromágneses teret ekkor klasszikusan értelmezik, a lehetséges végállapotok állapotsűrűségét pedig $\rho (k)=\frac{dn}{d{E}_k}$ alakban adják meg. A Fermi-aranyszabály értelmében:

$W_{k\to v}=\frac{2\pi }{\hslash }|⟨v|\widehat{{\mathscr{H}}^{\prime }}|k⟩{|}^2\rho (k)$.

Mivel a kezdeti állapotban még nincs jelen a kibocsátandó foton, csak a gerjesztett mag, ezért a kezdeti állapotfüggvény:

${\psi }_k={\psi }_a{e}^{-i\frac{E}{\hslash }t}$,

ahol ${\psi }_a$ a mag állapotfüggvénye. A végállapotot a legerjedő mag és a kibocsátott foton együttese adja, így a végállapot már összetett:

${\psi }_v={\psi }_b{e}^{-i\frac{E}{\hslash }t}\cdot \frac{\epsilon }{\sqrt{V}}{e}^{\pm i(kr-\omega t)}$,

ahol $\epsilon$a foton polarizációs vektora, a fotont pedig elektromágneses síkhullámként értelmezzük. Az átmeneti mátrixelem a fentiekkel az alábbi szerint adható meg:

$M_{vk}=⟨v|\widehat{{\mathscr{H}}^{\prime }}|k⟩=\int {\psi }_b^{*}{e}^{-ikr}\frac{\epsilon }{\sqrt{V}}{e}^{\frac{i}{\hslash }(E_b\pm \hslash \omega -E_a)t}\hat{O}{\psi }_a{d}^{3}r$,

ahol $\hat{O}$ a kölcsönhatást leíró perturbáció operátora.

Források

Szakkönyvek

• Sablon:Href
• Sablon:Href

Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok

• Sablon:Cite web
• Sablon:Cite web
• Sablon:Cite web
• Sablon:Cite web