Valószínűségi mező

A valószínűségi mező a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy „kísérleteket”) modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.

Definíció

A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke 1. Bővebben:

Legyen $\mathrm{\Omega }$ tetszőleges halmaz. Ha a $𝒫(\mathrm{\Omega })$ hatványhalmaz egy $𝒜$ részhalmaza $(𝒜\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega }))$ σ-algebra, azaz

• $\mathrm{\varnothing }\in 𝒜$, vagyis az üreshalmaz $𝒜$-beli,
• minden $A\in 𝒜$ halmaz esetén $\mathrm{\Omega }\setminus A\in 𝒜$, vagyis az $\mathrm{\Omega }$-ra vett komplementer halmaz is $𝒜$-beli, és
• minden $(A_n)\subseteq 𝒜$ halmazsorozat esetén $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in 𝒜$,

és létezik egy $P:𝒜\to [0,1]$ mérték, hogy

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$,
• $P(\mathrm{\Omega })=1$, és
• minden $(A_n)\subseteq 𝒜$ páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén $P\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n)$,

akkor az $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ hármast valószínűségi mezőnek nevezzük.

Szerencsekerék modellezése valószínűségi mezővel: az összes lehetséges kimenetel itt $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3\}$. Az $\mathrm{\Omega }$ alaphalmaz részhalmazainak valószínűségét szektora szögének a teljesszöghöz (360°) viszonyított nagysága adja meg

Ez a definíció azt is jelenti, hogy a valószínűség fogalma tisztán axiomatikus felírással is kezelhető, és nemcsak empirikusan – ahogy azt von Mises leírta. Alapvető az a gondolat, hogy a véletlen kísérlet összes kimenetét egymást kizáró eseményekként adjuk meg. Például egy szerencsekerék csak egy pozícióban állhat meg, ami egy adott null pozícióhoz képest mérhető. A mellékelt kép által mutatott példában csak az 1, 2, 3 számokhoz tartozó tartományokban állhat meg; egy mechanizmus akadályozza meg, hogy pont két szám határára essen (aminek egyébként is nulla a valószínűsége). Emiatt nem következhet be két elemi esemény, ezek diszjunktak. Ez alapozza meg az összeadási tétel kiterjesztését: Véges sok, egymást kölcsönösen kizáró esemény együttes valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege.

Elnevezések

• Az $\mathrm{\Omega }$ halmaz eseménytér.

Az $\omega \in \mathrm{\Omega }$ elemeket kimeneteleknek, vagy néha pongyolán elemi eseményeknek nevezzük; bár elemi eseménynek inkább az ezeket egyetlen elemként tartalmazó halmazokat célszerű nevezni, hiszen a $P$ mértékfüggvény halmazokon értelmezett, lásd alább.

• Az $𝒜\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ σ-algebra az eseményalgebra.

Az $A\in 𝒜$ halmazok események.

Az egyetlen lehetséges kimenetelt tartalmazó $A_i=\{{\omega }_i\}$ halmazok az elemi események

• A $P:𝒜\to [0,1]$ mértékfüggvény a valószínűségi mérték, röviden a valószínűség.

Az $\mathrm{\Omega }\in 𝒜$ esemény biztos esemény, mert $P(\mathrm{\Omega })=1$.

Az $\mathrm{\varnothing }\in 𝒜$ esemény lehetetlen esemény, mert $P(\mathrm{\varnothing })=0$.

Az $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A\in 𝒜$ esemény az $A\in 𝒜$ esemény komplementere.

• Az $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ hármast valószínűségi mezőnek vagy valószínűségi térnek nevezzük.

Példák

Példák diszkrét valószínűségi mezőre

Általánosabban, diszkrét valószínűségi mezőről van szó, ha az eseménytér véges vagy megszámlálhatóan végtelen, és eseményalgebrája a hatványhalmaz, vagyis $𝒜=𝒫(\mathrm{\Omega })$. Ebben az esetben nincsen szükség a σ-algebra fogalmának bevezetésére, $(\mathrm{\Omega },P)$ diszkrét valószínűségi mezőről beszélhetünk.

Klasszikus valószínűségi mező

Legyen $\mathrm{\Omega }$ véges halmaz, $𝒜=𝒫(\mathrm{\Omega })$ és minden $A\in 𝒫(\mathrm{\Omega })$ halmaz esetén $P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}$. Ekkor az $(\mathrm{\Omega },𝒫(\mathrm{\Omega }),P)$ valószínűségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.

Akkor is beszélnek diszkrét valószínűségi mezőről, ha az $\mathrm{\Omega }$ eseménytér tetszőleges, de a valószínűségek mindig egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz elemeit veszik fel, azaz ennek a halmaznak 1 a valószínűsége.

Bernoulli-mező

Ha az alaphalmaz, $\mathrm{\Omega }=\{0,1\}$ a valószínűségek pedig $P(\{0\})=p,P(\{1\})=1-p$, akkor Bernoulli-mezőről van szó.

Poisson-eloszlásból származtatott

A természetes számok halmaza, mint eseménytér, azaz $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$, minden természetes szám lehetséges kimenetel.

Az események ennek véges vagy megszámlálható végtelen részhalmazai.

Valószínűségi mérték lehet a $P_{\lambda }$ Poisson-eloszlás. A $\{k\}$ szám valószínűsége $P_{\lambda }(k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }$, ahol $\lambda$ pozitív paraméter.

Ezzel $(\mathbb{N},𝒫(\mathbb{N}),P_{\lambda })$ diszkrét valószínűségi tér.

Geometriai valószínűségi mező

Legyen $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ olyan Lebesgue mérhető halmaz, amelynek Lebesgue-mértéke $\lambda (\mathrm{\Omega })$ véges, $𝒜=ℒ(\mathrm{\Omega })$ az $\mathrm{\Omega }$ halmaz Lebesgue mérhető részhalmazainak $\sigma$-algebrája és minden $A\in ℒ(\mathrm{\Omega })$ esemény esetén $P(A)=\frac{\lambda (A)}{\lambda (\mathrm{\Omega })}$. Ekkor az $(\mathrm{\Omega },ℒ(\mathrm{\Omega }),P)$ valószínűségi mezőt geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük.

Exponenciális eloszlásból származtatott

Az eseménytér a nemnegatív számok $\mathrm{\Omega }={ℝ}_{\ge 0}=[0,\mathrm{\infty })$ halmaza.

Az események az $\mathrm{\Omega }={ℝ}_{\ge 0}=[0,\mathrm{\infty })$ Borel-részhalmazai, azaz $ℬ(ℝ)\cap [0,\mathrm{\infty })=ℬ([0,\mathrm{\infty }))$. Ezzel minden nyílt, zárt, félig nyílt intervallum, ezek egyesítése, metszete és komplementere esemény.

Valószínűségi mérték lehet az exponenciális eloszlás, ami minden $A$ Borel-halmazhoz a

$P_{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )}(A)=\underset{A}{\int }\lambda \exp (-\lambda x)\mathrm{d}x$

valószínűséget rendeli, ahol $\lambda >0$ paraméter.

Ezzel $([0,\mathrm{\infty }),ℬ([0,\mathrm{\infty })),P_{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )})$ valószínűségi mező.

További példák

• Indukált valószínűségi mező, ami egy valószínűségi változó képtere, ellátva a valószínűségi változó eloszlásával mint valószínűséggel.
• Teljes valószínűségi mező, teljes mértéktér a valószínűséggel mint mértékkel.
• Szorzattér
• Szűrt valószínűségi mező, valószínűségi mező szűrővel.

Kapcsolódó szócikkek

• Valószínűségi változó

Források

• Sablon:Cite web
• Sablon:MathWorld
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book