Trapézszabály

A kék f(x) függvényt a piros lineáris függvény közelíti.

A matematikában a trapézszabály közelítő eljárás határozott integrálok meghatározására, melynek során egy függvénygörbe meghatározott intervallumba eső görbe alatti területét egy, a görbe által meghatározott trapéz területével helyettesíti. Infinitezimális változata, melynek során az intervallum felosztása minden határon túl finomodik, egy konkrét (nem közelítő) algoritmust jelent a határozott integrálok meghatározására.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Húrtrapézformula

Húrtrapéz

Itt a két végpontot összekötő húr alatti trapézzal helyettesítjük a görbe alatti területet:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (b-a)\frac{f(b)+f(a)}{2}$

Ha $f$ második deriváltja folytonos $[a,b]$-n, akkor

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-(b-a)\frac{f(b)-f(a)}{2}|\le \frac{(b-a{)}^3}{12}\underset{a\le x\le b}{\max }|f^{″}(x)|.$

Összetett húrtrapézformula

Összetett trapézformula

Hogy a közelítést pontosabbá tegyük, az integrálási $[a,b]$ tartományt $N$ kisebb, diszjunkt részintervallumokra bontjuk;

Legyen f értéke $x_1,\dots ,x_N$ helyeken rendre $y_1,\dots ,y_N$, ekkor az integrál a következőképpen közelíthető:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{1}{2}\sum _{i=2}^N(x_i-x_{i-1})(y_i+y_{i-1}),$

speciálisan, ha a részintervallumok egyenlő hosszúak:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}(f(a+i\frac{N}{b-a})+f(a+(i-1)\frac{N}{b-a})=\frac{b-a}{N}(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{i=1}^{N-1}f(a+i\frac{b-a}{N})).$

Érintőtrapézformula

Érintőtrapéz

Az érintőtrapézformula azzal a trapézzal közelíti a területet, melynek az egyetlen tengelyekkel nem feltétlen párhuzamos oldala tartalmazza az $f$ függvény gráfjának $[a,b]$ intervallum felezőpontjához tartozó pontját. Így:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (b-a)f\left(\frac{(b-a)}{2}\right)$,

ahol, ha $f$ második deriváltja folytonos $[a,b]$-n, akkor

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-(b-a)f\left(\frac{(b-a)}{2}\right)|\le \frac{(b-a{)}^3}{24}\underset{a\le x\le b}{\max }|f^{″}(x)|$

Algoritmus

A függvény, amit integrálni szeretnénk: $f(x)=e^x$, a $[0,5]$ intervallumon, 10-es felosztással.

import math
def Fx(x):
    return math.exp(x)
def TrapezIntegralas(a,b,n):
    h=(b-a)/n
    x=a
    s=0.0
    for i in range(1,n,1):
        x=x+h
        s=s+Fx(x)
    return h*(s+(Fx(a)+Fx(b))/2)
print 'Trapezintegral:', TrapezIntegralas(0.0,5.0,10)

Az algoritmus a 150.4715 értéket adja vissza, míg a pontos érték a: 147.4131

Kapcsolódó szócikkek

• Darboux-integrál
• Simpson-módszer
• Romberg-módszer
• Newton–Cotes-formula

Források

• Trapezium Rule
• Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, Sablon:ISBN.
• Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (December 1990), "Characterization of the speed of convergence of the trapezoidal rule", Numerische Mathematik 57 (1): 123–138, doi:10.1007/BF01386402, ISSN 0945-3245

Külső hivatkozások

• Trapezoidal Rule for Numerical Integration
• Notes on the convergence of trapezoidal-rule quadrature Sablon:Wayback
• Trapezoidal Rule of Integration – Notes, PPT, Videos, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple, Multiple Choice Tests at Holistic Numerical Methods Institute
• C Language Implementation of Trapezoidal Rule