Tangenstétel

Háromszög esetén, α, β és γ jelöli az a, b és c oldalakkal szemközti szögeket

A tangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög két oldalára és az oldalakkal szemben fekvő szögekre igaz a következő összefüggés:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha +\beta }{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha -\beta }{2}}.$

Bizonyítás

A szinusztétel értelmében:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }.$

Legyen

$d=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta },$

így

$a=d\sin \alpha \text{ és }b=d\sin \beta ,$

amiből

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{d\sin \alpha +d\sin \beta }{d\sin \alpha -d\sin \beta }=\frac{\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }.$

A két szinusz összegére vonatkozó képlet

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha \pm \beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha \mp \beta }{2}\right)$

használatával a következő alakot kapjuk:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}{2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha +\beta }{2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha -\beta }{2}}.$

Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

Kapcsolódó szócikkek

• Koszinusztétel
• Szinusztétel
• Kotangenstétel