Kotangenstétel

A kotangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög bármely félszögének kotangense egyenlő a félkerület és a szemközti oldal különbségének és a beírt kör sugarának arányával, vagyis:

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha }{2}=\frac{s-a}{\rho },$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\beta }{2}=\frac{s-b}{\rho },$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\gamma }{2}=\frac{s-c}{\rho },$

ahol $\rho =\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ a háromszög beírt körének sugara, $s=\frac{a+b+c}{2}$ pedig a háromszög félkerülete.

Másképp:

$\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha }{2}}{s-a}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\beta }{2}}{s-b}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\gamma }{2}}{s-c}=\frac{1}{\rho }$.

Bizonyítása

A kotangenstétel bizonyítása

Legyen az $A$ csúcsnál lévő szög (a szokásos jelöléssel) $\alpha$, a szemközti oldal pedig $a$.

Ha a beírt kör $O$ középpontjából merőlegest bocsátunk valamelyik (nem $a$) oldalra, az $A$ pontot pedig összekötjük a $O$ középponttal, akkor – az ábra szerint – egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek $A$-nál lévő szöge $\frac{\alpha }{2}$, mert a beírt kör középpontja a szögfelezőkön van.

E háromszög $\frac{\alpha }{2}$ szöggel szemközti befogója éppen $\rho$ hosszúságú.

A háromszög oldalait a beírt körrel való érintési pontjai rendre két-két részre osztják, melyek hossza az ábra szerint $a=y+z$, $b=x+y$, $c=x+z$ (adott pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő).

Az $ABC$ háromszög félkerületének hossza így $s=x+y+z$, amiből az $ATO$ háromszög $AT$ befogójára $AT=x=s-(y+z)=s-a$ adódik. Az $ATO$ háromszögben pedig

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\alpha }{2}=\frac{AT}{OT}=\frac{s-a}{\rho }$.

Mivel a bizonyítás közben a háromszög oldalainak, szögeinek semmilyen speciális tulajdonságát nem használtuk ki, a tétel éppígy igaz a többi oldalra is. Q.E.D.

Kapcsolódó szócikkek

• Koszinusztétel
• Szinusztétel
• Tangenstétel
• Mollweide-formula