Szimpliciális mélység

A hat piros mintapont által meghatározott szimpliciális mélységek, Burr et al. módosított definíciója alapján. A nagyobb, fekete számok az egyes régiók mélységei, a kisebb, kék számok pedig a kék egyenes szakaszok menti mélységértékek.

A matematika, azon belül a robusztus statisztika és a számítási geometria területén a szimpliciális mélység vagy szimplexmélység (simplicial depth) adott pontokat tartalmazó szimplexek száma alapján meghatározott központi tendenciamérték. Az euklideszi síkon az adott pontot tartalmazó háromszögek száma határozza meg.

Definíció

A $d$-dimenziós euklideszi térben elhelyezkedő $p$ pont szimpliciális mélysége, az adott térben elhelyezkedő valamely mintapontok halmazát tekintve, azon $d$-dimenziós szimplexek száma (a $d+1$ mintapont halmazainak konvex burkai), melyek tartalmazzák $p$-t. Ugyanez az elgondolás általánosítható a sík pontjainak bármilyen valószínűségi eloszlására, nem csak a mintapontok által meghatározott empirikus eloszlásra, ha a mélységet annak a valószínűségeként definiáljuk, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott pont-$(d+1)$-es konvex burka tartalmazza $p$-t. Ez a valószínűség kiszámítható a $p$-t tartalmazó szimplexek számát elosztva $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{d+1})$-gyel, ahol $n$ a mintapontok száma.Sablon:RanSablon:Ran

A szimpliciális mélység standard definíciója szerint ugyanolyan súlyozással kell figyelembe venni az olyan szimplexeket, melyeknek $p$ a határán helyezkedik el, mint azokat, melyeknek a belsejében. Ez problematikus viselkedést okozhat, melynek elkerülésére Sablon:Harvtxt a szimpliciális mélység módosított definíciójára tett javaslatot, melyben $p$ a határán fekvő szimplexeket feleakkora súlyozással kell figyelembe venni. Ezzel ekvivalens definíció szerint a $p$-t tartalmazó nyitott szimplexek és zárt szimplexek számának átlagát veszik figyelembe.Sablon:Ran

Tulajdonságok

A szimpliciális mélység robusztus viselkedést mutat a kiugró értékekkel szemben: ha mintapontok egy halmazát egy maximális mélységű pont reprezentálja, akkor a mintapontok egy konstans százalékánál nem nagyobb számú pont tetszőlegesen elrontható anélkül, hogy a reprezentatív pont helyzete szignifikánsan megváltozna. A szimpliciális mélység továbbá a sík affin transzformációira invariáns.Sablon:RanSablon:RanSablon:Ran

A szimpliciális mélység azonban nem rendelkezik néhány jellemzővel, melyek a centrális tendencia robusztus mértékével szemben elvárhatók lennének. Középpontosan szimmetrikus eloszlások esetén nem minden esetben található egyedi, maximális mélységű pont az eloszlás közepén. Továbbá, a maximális mélységű pontból kiinduló félegyenes mentén a szimpliciális mélység értéke nem feltétlenül monoton csökkenő.Sablon:RanSablon:Ran

Algoritmusok

Az euklideszi síkon Sablon:Nowrap található $n$ mintapont esetén a tőlük különböző tetszőleges $p$ pont szimpliciális mélysége Sablon:Nowrap egyes számítási modellekben optimálisan.Sablon:Ran Három dimenzióban ugyanez a probléma Sablon:Nowrap

Epszilon-hálók segítségével konstruálható olyan adatszerkezet, ami képes adott lekérdezési pont (akár egy fix minthahalmazon, akár pontbeillesztés alatt álló mintahalmazon tekintve) szimpliciális mélységét lekérdezésenként közel konstans időben közelíteni, akárhány dimenzióban, ahol az approximáció hibája a minták által meghatározott háromszögek számának kis százaléka.Sablon:Ran Két dimenzióban pontosabb közelítési algoritmus is ismert, melyben a közelítés hibája magának a szimpliciális mélységnek alacsony százaléka. Ugyanezek a módszerek magasabb dimenziókban is gyors approximációs algoritmusokhoz vezetnek.Sablon:Ran

Szferikus mélység

A szferikus mélység vagy gömbi mélység, $SphD(q;F)$ annak a valószínűsége, hogy a $q$ benne van az $F\in {ℝ}^n$ pontpárja által meghatározott hipergömb belsejében. Bár az adatmélységek idő-komplexitása általában a $d$ dimenzió függvényében exponenciálisan növekszik, a szferikus mélysége csak lineárisan – az egyszerű, szferikus mélységet számító algoritmus csak $O(d{n}^2)$ időt vesz igénybe. A szimpliciális mélység (SD) lineáris távolságra található a szferikus mélységtől ($SphD\ge \frac{2}{3}SD$).Sablon:Ran

Fordítás

• Sablon:Fordítás