Szabadelektron-modell

A szilárdtestfizikában a szabadelektron-modell egy egyszerű modell a fémes szilárdtestek kristályos szerkezetében a vezetési sáv működésének leírására. Eredetileg Arnold Sommerfeld fejlesztette ki ezt az elméletet, kombinálva a klasszikus Drude-modellt a kvantummechanika Fermi–Dirac-statisztikájával, ezért Drude–Sommerfeld-modellnek is hívják.

Alkalmazásai

A szabadelektron üresrács-közelítés elmélete alapozza meg az energiasávok modelljét, amely közel-szabadelektron modellként is ismert. Egyszerűségéből adódóan sikeresen magyaráz meg különféle kísérleti jelenségeket, mint például:

• a Wiedemann–Franz-törvény, mely az elektromos vezetőképességre és a termikus vezetőképességre vonatkozik,
• a hőkapacitás hőmérsékletfüggése,
• az elektronikus állapotsűrűség formái,
• energiaértékek tartománya,
• elektromos vezetőképesség,
• fémek termikus elektronemissziója.

Elképzelések és feltételezések

Ahogy a Drude-modellnél feltételezik, a vezetési elektronok teljesen le vannak csatolva az ionoktól (elektrongázt formálva). Mint egy ideális gázban, az elektron-elektron kölcsönhatást teljesen elhanyagolják. A fémeknél az elektrosztatikus mezők gyengék az árnyékoló hatás miatt. A kristályrácsot nem veszik explicit módon számításba. A kvantummechanikai igazolást a Bloch-tétel adja: egy nem kötött elektron periodikus potenciálban mozog, mint egy szabad elektron vákuumban, azzal a különbséggel, hogy m tömegét egy m* effektív tömeggel kell helyettesíteni, amely jelentősen eltérhet m-től. Még negatív effektív tömeg is alkalmazható az elektronlyukak általi vezetés leírására.

Az effektív tömeg a sávszerkezet számításaiból vezethető le.

Míg a statikus rács nem akadályozza az elektron mozgását, az elektronok szóródni képesek a szennyezések és a fononok miatt; e két kölcsönhatás határozza meg az elektromos és termikus vezetőképességet (a szupravezetés egy még jobban kidolgozott elméletet igényel, mint a szabadelektron-modell).

A Pauli-elv szerint minden egyes fázistérelem, (Δk)³(Δx)³ csak két elektront tartalmazhat (spinkvantumszámonként egyet). A rendelkezésre álló elektronállapotoknak ezt a megkötését a Fermi–Dirac-statisztika veszi figyelembe (lásd még Fermi-gáz). A szabadelektron-modell legfőbb jóslatai a Fermi–Dirac-elmélet Sommerfeld-kiterjesztéséből származtathatók, a Fermi-szintnek megfelelő energiáknál.

A szabad elektron energiája és hullámfüggvénye

Haladó síkhullám

Egy szabad részecske potenciálja $V(𝐫)=0$. A Schrödinger-egyenlet az ilyen részecskére, mint a szabad elektronra:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$

A hullámfüggvény $\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$ szeparálható egy időfüggő és egy időfüggetlen egyenlet megoldásainak szorzatára. Az időfüggő egyenlet:

$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=\psi (𝐫)e^{-i\omega t}$

$E=\hslash \omega$

energiával Az időfüggetlen egyenlet:

${\psi }_{𝐤}(𝐫)=\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_r}}{e}^{i𝐤\cdot 𝐫}$

$𝐤$ hullámszámvektorral. ${\mathrm{\Omega }}_r$ annak a térnek a térfogata, ahol az elektron található. Az elektron kinetikus energiája:

$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$

A Schrödinger-egyenlet síkhullámmegoldása:

$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_r}}{e}^{i𝐤\cdot 𝐫-i\omega t}$

A sziládtestfizikában és a kondenzált anyagok fizikájában a legfontosabb a ${\psi }_{𝐤}(𝐫)$ időfüggetlen megoldás. Ez az elektronikus sávszerkezet-modellek kiindulópontja, amelyet széles körben alkalmaznak a szilárdtestfizikában a modellek Hamilton-függvényének felépítésekor, mint például a közelszabad-elektron modellnél és a szoroskötés-modellnél, valamint más modelleknél, amelyek muffin-tin közelítést használnak. Ezen Hamilton-függvények sajátfüggvényei Bloch-állapotok, modulált síkhullámok.

Haladó síkhullámú megoldás

Az időfüggetlen stacionárius hullám és az időfüggő oszcillátor szorzata:

$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=\psi (𝐫)e^{-i\omega t}$ megadja a haladóhullám-megoldást

$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_r}}{e}^{i𝐤\cdot 𝐫-i\omega t}$ mely a végleges megoldás a szabadelektron-hullámfunkcióra.

Síkhullámok

Források

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

További információk

• http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/brillouin.htm Sablon:Wayback
• http://phycomp.technion.ac.il/~nika/brillouin_zones.html Sablon:Wayback
• http://www.newscientist.com/article/mg18925351.300
• http://iopscience.iop.org/0143-0807/21/6/314/pdf/ej0614.pdf