Steiner-ciklois

A piros görbe Steiner-ciklois, más néven deltoidgörbe

A geometriában a Steiner-ciklois vagy deltoidgörbe egy három csúcsú hipociklois. Másként, egy nagyobb körön belülről csúszás nélkül görgő kör egy kerületi pontja írja le, ami másfélszer vagy háromszor fordul körbe. A deltoid nevet a delta görög betűről kapta, mivel hasonlít a delta nagybetűre.

Általánosabban a deltoidgörbe vonatkozhat egy olyan görbére, aminek három csúcsát a külsejére nézve konkáv görbék kötik össze, így a görbén belüli pontok konkáv halmazt alkotnak.

Egyenletei

A deltoidgörbe forgatás és eltolás erejéig leírható a következő paraméteres egyenletekkel:

$x=2a\cos (t)+a\cos (2t)$

$y=2a\sin (t)-a\sin (2t)$

ahol a a gördülő kör sugara.

Komplex koordinátákkal ugyanez így néz ki:

$z=2a{e}^{it}+a{e}^{-2it}$.

A t változó kiküszöbölésével az egyenletet a Descartes-koordinátákkal fejezzük ki:

$(x^2+y^2{)}^2+18a^2(x^2+y^2)-27a^4=8a(x^3-3x{y}^2),$

eszerint a deltoidgörbe negyedfokú algebrai síkgörbe. Poláris koordinátákban az egyenlet:

$r^4+18a^2{r}^2-27a^4=8a{r}^3\cos 3\theta .$

A görbének három csúcsa, szingularitása van a $t=0,\pm \frac{2\pi }{3}$ helyeken. A fenti paraméterezésből következik, hogy a görbe racionális, így nemszáma 0.

A deltoidgörbét érintői két helyen is elmetszik. Ha az érintő egyszer körbefordul, akkor az érintési pont kétszer fordul körbe.

A deltoidgörbe evolvense

$x^3-x^2-(3x+1)y^2=0,$

aminek kettős pontja van az origóban. Ez megmutatható az y ↦ iy képzetes forgatással, aminek eredménye

$x^3-x^2+(3x+1)y^2=0$

kettős ponttal a valós sík origójában.

Terület és kerület

A közrezárt terület $2\pi a^2$, ahol a a gördülő kör sugara. Ez kétszerese a gördülő kör területének.

A görbe ívhossza 16a.

Története

A cikloisokat már Galileo Galilei és Marin Mersenne tanulmányozta 1599-től, de a gördülő körök pontjai által leírt görbékkel Ole Rømer kezdett el foglalkozni 1674-ben, amikor a fogaskerék legjobb alakját kereste. Leonhard Euler összefüggésbe hozta a deltoidgörbét egy optikai problémával.

Alkalmazásai

A deltoidgörbék a matematika több területén is felbukkannak:

• A harmadrendű unisztochasztikus mátrixok komplex sajátértékeinek halmaza
• A harmadrendű unisztochasztikus mátrixok keresztmetszete
• Az SU(3) csoport unitér mátrixainak lehetséges nyomainak halmaza
• Két deltoidgörbe metszete hatodrendű komplex Hadamard-mátrixok egy családját paraméterezi.
• Egy háromszög Simpson-vonalai Steiner-görbét burkolnak. Jakob Steiner 1856-ban írta le a görbe alakját és szimmetriáját.
• A háromszögek területfelezői tágabb értelemben vett deltoidgörbét burkolnak. A görbe csúcsai a háromszög oldalfelező pontjai; a görbe szakaszai hiperbolaívek, amelyek aszimptotái a háromszög oldalai.
• A Steiner-ciklois egy javasolt megoldás Kakeya tűproblémájára.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Deltoïde" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in French)
• Sablon:Springer