Schwinger–Dyson-egyenlet

Freeman Dyson 2005-ben

A Schwinger–Dyson-egyenletek általános összefüggések a kvantumtérelméletben (QFT) lévő korrelációs függvények között. Az egyenleteket a kvantumelektrodinamika két meghatározó kutatójáról, Julian Schwingerről és Freeman Dysonról nevezték el. A Schwinger−Dyson-egyenletek a kvantumtérelméletbeli megfelelői a klasszikus elméletben használt Euler–Lagrange-egyenleteknek. Azonban fontos megjegyezni, hogy az Euler−Lagrange-egyenletek "csak" valós parciális differenciálegyenletek, míg az SD-egyenletek operátorértékű eloszlásokra vonatkozó funkcionálegyenletek egy végtelen dimenziós Hilbert-térben.

Dyson "The S-Matrix in Quantum electrodynamics" (Az S-mátrix a kvantumelektrodinamikában) című tanulmányában perturbatív kvantumelekrodinamikai megközelítésből indult ki. A levezetésben végtelen sok Feynman-diagram összegzésével származtatott összefüggéseket a különböző a Heisenberg-féle S-mátrixelemek – vagy más néven egy-részecske Green-függvények – között. Schwinger a variációs elvéből kiindulva egy egyenletrendszert állított fel a kvantumtérelméleti Green-függvényekre nem-perturbatív módon, amelyek a Dyson-egyenleteket a kvantumtérelméleti Green-függvényekre vett általánosításai, és amit Schwinger–Dyson-egyenleteknek nevezünk. A Schwinger és Dyson által kidolgozott megközelítés a relativisztikus kvantumtérelmélet nem-perturbatív módszerei közé tartozik, és az elméleti fizika számos területén, mint például a szilárdtestfizikában és az elemi részecskefizikában is megtalálhatók az alkalmazásai.

Schwinger egy másik egyenletet is levezetett a kétrészecske irreducibilis Green-függvényekre, amelyre manapság inhomogén Bethe–Salpeter-egyenletként hivatkozunk.

Levezetés

Legyen adott egy polinomiális korlátos funkcionál $F$ a tér konfigurációk felett, majd legyen ennek bármely állapotvektorra (amely a QFT megoldása) $|\psi ⟩$, ekkor érvényes a

$⟨\psi \left|𝒯\{\frac{\delta }{\delta \phi }F[\phi ]\}\right|\psi ⟩=-i⟨\psi \left|𝒯\{F[\phi ]\frac{\delta }{\delta \phi }S[\phi ]\}\right|\psi ⟩$

összefüggés, ahol $S$ a hatásfunkcionál és $𝒯$ az időrendezés.

Kifejezés megadható ekvivalens módon sűrűségállapot-formalizmusban. Legyen adott bármely (érvényes) sűrűségi állapot $\rho$, ekkor a Schwinger–Dyson-egyenlet

$\rho \left(𝒯\{\frac{\delta }{\delta \phi }F[\phi ]\}\right)=-i\rho \left(𝒯\{F[\phi ]\frac{\delta }{\delta \phi }S[\phi ]\}\right).$

Ezen egyenletek végtelen halmaza megadja a relativisztikus kvantumtérelméleti korrelációs függvények nem perturbatív megoldását.

Érdemes átalakítani az egyenleteket, megmutatva a Feynman-diagrammokal való kapcsolatot, a jobb megértés érdekében. Az $S$-operátor felbontható, mint

$S[\phi ]=\frac{1}{2}{\phi }^i{D}_{ij}^{-1}{\phi }^j+S_{\text{int}}[\phi ],$

ahol az első tag a kvadratikus rész, ahol $D^{-1}$ egy invertálható szimmetrikus (fermionokra antiszimmetrikus) kovariáns tenzor. A $D$-t csupasz (bare, vagy Feynman) propagátornak nevezzük és $S_{\text{int}}[\phi ]$ fejezi ki az extra kölcsönhatást. A felbontást követően átírhatjuk az SD-egyenleteket a következőképpen:

$⟨\psi |𝒯\{F{\phi }^j\}|\psi ⟩=⟨\psi |𝒯\{i{F}_{,i}{D}^{ij}-F{S}_{\text{int},i}{D}^{ij}\}|\psi ⟩.$

Ha az $F$ a $\phi$ mező funkcionálja, akkor $F[\phi ]$definicíó szerint megadható a követkő módon.

$F[\phi ]=\frac{{\partial }^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\phi (x_1)\cdots \frac{{\partial }^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\phi (x_n)$

és $G$ funkcionálja $J$-nek, akkor

$F[-i\frac{\delta }{\delta J}]G[J]=(-i{)}^n\frac{{\partial }^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\delta }{\delta J(x_1)}\cdots \frac{{\partial }^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\frac{\delta }{\delta J(x_n)}G[J].$

Ha létezik a $J$ forrásmezőnek egy analitikus (a függvény előállítható egy lokálisan konvergens hatványsorból) $Z$ funkcionálja generátor fukncionál), akkor definíció szerint felírható a következő egyenlet

$\frac{{\delta }^{n}Z}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}[0]=i^{n}Z[0]⟨\phi (x_1)\cdots \phi (x_n)⟩,$

ekkor a funkcionális integrálok tulajdonságaiból felírható a

${⟨\frac{\delta 𝒮}{\delta \phi (x)}\left[\phi \right]+J(x)⟩}_J=0$

egyenlet. A generátor funkcionálra vett Schwinger–Dyson-egyenlet pedig a következő lesz

$\frac{\delta S}{\delta \phi (x)}[-i\frac{\delta }{\delta J}]Z[J]+J(x)Z[J]=0.$

Ha ezt az egyenletet Taylor-sorozatba fejtjük a $J=0$-ban, akkor megkapjuk a Schwinger–Dyson-egyenleteket

Példa: φ⁴ elmélet

Például tegyük fel, hogy a hatás a következő módon néz ki

$S[\phi ]=\int d^{d}x(\frac{1}{2}{\partial }^{\mu }\phi (x){\partial }_{\mu }\phi (x)-\frac{1}{2}{m}^2\phi (x{)}^2-\frac{\lambda }{4!}\phi (x{)}^4)$

ahol φ egy valós mező. Ekkor a mező szerinti derivált,

$\frac{\delta S}{\delta \phi (x)}=-{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\phi (x)-m^2\phi (x)-\frac{\lambda }{3!}{\phi }^3(x).$

A Schwinger–Dyson-egyenlet pedig ehhez a konkrét példához a következő lesz:

$i{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\frac{\delta }{\delta J(x)}Z[J]+i{m}^2\frac{\delta }{\delta J(x)}Z[J]-\frac{i\lambda }{3!}\frac{{\delta }^3}{\delta J(x{)}^3}Z[J]+J(x)Z[J]=0$

Vegyük figyelembe, hogy mivel a

$\frac{{\delta }^3}{\delta J(x{)}^3}$

nem pontosan meghatározott, mert

$\frac{{\delta }^3}{\delta J(x_1)\delta J(x_2)\delta J(x_3)}Z[J]$

egy disztribúciója a $x_1$, $x_2$ és $x_3$-nak. Ezért az egyenletet regularizálni kell.

Ebben a példában a D csupasz propagátor a $-{\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m^2$ Green-függvénye így a Schwinger–Dyson-egyenletek a következők lesznek:

$\begin{array}{cc}& ⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_0)\phi (x_1)\}\mid \psi ⟩\\ =& iD(x_0,x_1)+\frac{\lambda }{3!}\int d^d{x}_{2}D(x_0,x_2)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_1)\phi (x_2)\phi (x_2)\phi (x_2)\}\mid \psi ⟩\end{array}$

és

$\begin{array}{cc}& ⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_0)\phi (x_1)\phi (x_2)\phi (x_3)\}\mid \psi ⟩\\ =& iD(x_0,x_1)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_2)\phi (x_3)\}\mid \psi ⟩+iD(x_0,x_2)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_1)\phi (x_3)\}\mid \psi ⟩\\ & +iD(x_0,x_3)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_1)\phi (x_2)\}\mid \psi ⟩\\ & +\frac{\lambda }{3!}\int d^d{x}_{4}D(x_0,x_4)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_1)\phi (x_2)\phi (x_3)\phi (x_4)\phi (x_4)\phi (x_4)\}\mid \psi ⟩\end{array}$

stb.

(Hacsak nincs spontán szimmetriasértés, a páratlan korrelációs függvények eltűnnek.)

További információk

Nem sok könyv foglalkozik a Schwinger–Dyson-egyenletekkel. Íme három szabványos hivatkozás:

• Sablon:Hivatkozás/Könyv
• Sablon:Hivatkozás/Könyv
• Sablon:Hivatkozás/Könyv
• Peskin-Schröder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley (1995)

Van néhány áttekintő cikk a Schwinger–Dyson-egyenletek alkalmazásáról a fizika egyes speciális területére vonatkozóan. A kvantum-színdinamikai alkalmazásokhoz léteznek

• Sablon:Cite journal
• Sablon:Cite journal