Riemann-tenzor

A Riemann-tenzor vagy Riemann–Christoffel-tenzor a tér görbületét leíró tenzor, melyet Bernhard Riemannról és Elwin Bruno Christoffelről neveztek el.

Definíció

A sokaság belső geometriájára jellemző görbületet a görbületi tenzor vagy Riemann-tenzor írja le. Az u és v vektormezők kommutációs tulajdonságait vizsgálva, definiálhatjuk a következő vektort

$R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w-{\mathrm{\nabla }}_{[u,v]}w$

Itt nabla a kovariáns deriváltat jelöli. A fenti egyenletben fellépő R tenzort nevezzük görbületi vagy Riemann-tenzornak.

A Riemann-tenzor lokális koordinátákban

A Riemann-tenzort felírhatjuk lokális koordinátákban a Christoffel-szimbólumok segítségével:

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\rho }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\lambda }$

ahol ${\partial }_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$, és a kétszer előforduló indexekre automatikus összegzés értentő (Einstein-féle összegzési konvenció).

A teljesen kovariáns alakja pedig a következő

$R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }$

itt $g_{\rho \zeta }$ a metrikus tenzort jelöli.

Bianchi-azonosságok

A Riemann-tenzorral kapcsolatban bebizonyíthatóak az ún. Bianchi-azonosságok.

Az első Bianchi-azonosság a következő:

$R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}^{}=0$

Ezt szokás az alábbi rövidebb formában is használni:

$R_{a[bcd]}^{}=0$

itt a szögletes zárójel a tenzor antiszimmetrikus részét jelöli.

A második Bianchi-azonosság pedig a következő alakú:

$R_{abcd;e}^{}+R_{abde;c}^{}+R_{abec;d}^{}=0$

vagy rövid formában

$R_{ab[cd;e]}^{}=0$

ahol a pontosvessző a kovariáns deriváltat jelöli.

Szimmetriái

A Riemann-tenzor az indexpárjaiban szimmetrikus

$R_{abcd}^{}=R_{cdab}$

Az első két indexében és az utolsó két indexében pedig antiszimmetrikus:

$R_{abcd}^{}=-R_{bacd},R_{abcd}^{}=-R_{abdc}$

Források

• Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó. Budapest. 1976
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó. 1963
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. Sablon:ISBN