Rezultáns

A matematikában a rezultáns a kommutatív algebra eszköze, ami segít megtalálni két polinom közös gyökeit. Többváltozós egyenletrendszerek esetén segít sorra kiküszöbölni az ismeretleneket. A rezultánst és más eszközöket a 19. században kezdték el tanulmányozni. Elsőként szimmetrikus rendszerekre használták, L Kronecker alkalmazta elsőként általános esetre. A modern komputeralgebrai rendszerekben rezultánsokat és magasabb dimenziós analógjaikat használják, hogy egy adott Gröbner-bázisból következtessenek az egyenletrendszer megoldásaira.

A számelméletben széles körben használják, akár közvetlenül, akár közvetve, a diszkriminánson keresztül, ami definíció szerint a polinom és deriváltja rezultánsa. A racionális vagy polinomiális együtthatós polinomok rezultánsa hatékonyan számítható. A komputeralgebra alapvető eszköze, és a legtöbb komputeralgebra rendszer beépített függvénye. Használják többek között a cilinderes algebrai dekompozícióhoz, racionális függvények integrálásához és a két változós polinomiális egyenletek által megadott görbék megrajzolásához.

Definíció

Legyenek f és g polinomok az $R[X]$ polinomgyűrű elemei; jelölje f fokát m, g fokát n! Az R gyűrűről feltesszük, hogy kommutatív és egységelemes.

$f=f_0+f_{1}X+\dots +f_m{X}^m$ és $g=g_0+g_{1}X+\dots +g_n{X}^n$.

Ekkor a két polinom rezultánsa a Sylvester-mátrix determinánsa.

$\mathrm{Res}(f,g)=\det \left(\begin{array}{cccccccc}{f}_m& f_{m-1}& \cdots & & f_0& & & \\ & f_m& f_{m-1}& \cdots & & f_0& & \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ & & & f_m& f_{m-1}& \cdots & & f_0\\ g_n& g_{n-1}& \cdots & & g_0& & & \\ & g_n& g_{n-1}& \cdots & & g_0& & \\ & & \ddots & & & & \ddots & \\ & & & g_n& g_{n-1}& \cdots & & g_0\end{array}\right)$

A mátrix m sorban tartalmazza f együtthatóit, és n sorban g együtthatóit, a többi koordinátája nulla. Tehát a Sylvester-mátrix négyzetes, $m+n$ sorral és oszloppal.

Egy másik definíció szerint, ha f és g egy K test fölötti polinomok, akkor a rezultáns

$\prod _{(x,y):f(x)=g(y)=0}(x-y)$

ahol a gyökök K algberai lezártjának elemei. Többszörös gyökök esetén a gyökök multiplicitásukkal szerepelnek. Következik, hogy a tényezők száma megegyezik f és g fokának szorzatával. Ha f és g főegyütthatója nem egy, akkor meg kell szorozni a p^degfq^degg tényezővel, ahol p az f, q a g együtthatója. Testek fölött a két definíció ekvivalens.

A rezultáns egy harmadik definíciója egy racionális kifejezésről beszél (ez testet feltételez), ami megfelel a következőknek:

• Ha a polinomoknak közös gyökük van, akkor értéke nulla.
• Ha értéke nulla, és legalább az egyik polinom főegyütthatója nem nulla, akkor a polinomoknak közös gyökük van.

Kiszámítása

Mivel a rezultáns a gyökök polinomfüggvénye, és invariáns permutációjukra, a rezultáns kiszámítható az elemi szimmetrikus polinomok segítségével.

A rezultáns, mint determináns kiszámítható ezzel a képlettel:

$p^{\mathrm{deg}(g)}\prod _{f(x)=0}g(x),$

tehát minden rögzített f-re polinomosan függ g együtthatóitól. Szimmetria miatt minden rögzített g-re polinomosan függ f együtthatóitól. Következik, hogy a rezultáns f és g együtthatóinak polinomja.

A rezultáns változatlan marad, ha a g polinomot $h=fmodg$ helyettesíti. Ezután a módszer az így kapott h és f szerepének cseréjével folytatható. Mivel azonban h gyökei különbözhetnek g gyökeitől, ezért újra fel kell írni a determinánst, ahol h együtthatóit vezető nullákkal egészítjük ki. Iteratív kifejtéssel res(f,g)=q^degf-degh res(h,g), ahol q a g főegyütthatója. Az eljárás folytatásával az euklideszi algoritmus egy változatához jutunk.

Az eljárás annyi számtani műveletet igényel, aminek nagyságrendje megegyezik a polinomok fokainak szorzatával. Azonban minden egyes alkalommal ki kell számítani bizonyos együtthatók legnagyobb közös osztóját, amitől az algoritmus túl lassúvá válik.

A szubrezultáns pszeudo-maradék sorozatok segítenek elkerülni ezeket a költséges műveleteket. Egy még hatékonyabb algoritmus kihasználja a rezultáns jól viselkedik a gyűrűhomomorfizmusokra; az egész együtthatós polinomok esetén különböző prím modulusokra számítják ki, és a végén a kínai maradéktétellel rekonstruálják az eredményt.

Tulajdonságai

A Sylvester-mátrix transzponáltja az $fp-gq=0$ egyenlet rendszer mátrixa, ahol ez lineáris egyenletrendszerként van értelmezve a

$p=p_0+p_{1}X+\dots +p_{n-1}{X}^{n-1}$ és $q=q_0+q_{1}X+\dots +q_{m-1}{X}^{m-1}$

kofaktor polinomokra.

Ha az f és a g polinomoknak van közös gyöke, akkor a rezultáns nullává válik. A másik irány bizonyításához az kell, hogy az R gyűrű egyértelmű faktorizációs gyűrű és integritási tartomány legyen; azaz az eddigi kikötések mellett nullosztómentes legyen, és nem null elemei egyértelműen prímelemekre bonthatók legyenek. Ez teljesül például, ha R test, az egész számok gyűrűje vagy polinomgyűrű. Ha ezek teljesülnek, és $\mathrm{Res}(f,g)=0$, akkor f-nek és g-nek van pozitív fokú közös tényezője. Ha egy homomorfia megőrzi f és g fokát, akkor a rezultánsnak f és g képének rezultánsát felelteti meg.

Ha a polinomok együtthatói egy algebrailag zárt testből valók, például komplex számok, akkor az f és g polinomok lineáris tényezőkre bomlanak:

$f(X)=f_m\cdot (X-a_1)\cdot \dots \cdot (X-a_m)$ und $g(X)=g_n\cdot (X-b_1)\cdot \dots \cdot (X-b_n)$.

Ekkor a rezultáns kifejezhető a gyökökkel:

$\mathrm{Res}(f,g)=(f_m{)}^{n}g(a_1)\cdots g(a_m)=(-1{)}^{mn}(g_n{)}^{m}f(b_1)\cdots f(b_n)=(f_m{)}^n(g_n{)}^m\prod _{i=1}^m\prod _{j=1}^n(a_i-b_j)$.

A Cramer-szabállyal megmutatható, hogy mindig vannak olyan R-beli együtthatós A és B polinomok, hogy

$Af+Bg=\mathrm{Res}(f,g)$.

Ezek az A és B polinomok adják a Sylvester-mátrix komplemensének utolsó oszlopát.

Teljesülnek a következők, ha f és g együtthatói egy test elemei:

• res(f,g) = (-1)^degfdeggres(g,f)
• res(hf,g)=res(f,g)res(h,g)
• Ha $r=f+hg$ és $\mathrm{deg}r=\mathrm{deg}f$, akkor $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(r,g)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,g)$.
• Ha X, Y, f, g foka megegyezik és X=a₀₀f+a₀₁g, Y=a₁₀f+a₁₁g,

akkor $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(X,Y)=\det {\left(\begin{array}{cc}{a}_{00}& a_{01}\\ a_{10}& a_{11}\end{array}\right)}^{\mathrm{deg}f}\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,g)$

• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(f(-z),g(z))=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(g(-z),f(z))$

Alkalmazásai

• Ha x és y algebrai számok, és $f(x)=g(y)=0$, akkor $z=x+y$ x-ben gyöke az $f(x)$ és $g(z-x)$ rezultánsának. Továbbá $t=xy$ gyöke $f(x)$ és $x^{n}g(t/x)$ rezultánsának. Hozzávéve azt, hogy $1/y$ az $y^{n}Q(1/y)$ gyöke, kapjuk, hogy az algebrai számok testet alkotnak.
• Egy polinom diszkriminánsa a polinom és deriváltjának rezultánsa.
• Az algebrai geometriában görbék metszéspontjának kiszámítására is használják. például definiáljanak

$f(x,y)=0$

és

$g(x,y)=0$

algebrai görbéket ${𝔸}_k^2$-ban. Ha f-et és g-t polinomoknak tekintjük x-ben k[y]-beli együtthatókkal, akkor f és g rezultánsa polinom y-ban, aminek nullhelyei a metszéspontok y koordinátái, vagy az x tengellyel párhuzamos közös aszimptotái.

• A komputeralgebrában a legnagyobb közös osztó egész együtthatós moduláris képeinek elemzésének eszköze. Ez azt jelenti, hogy az együtthatókat modulo p tekintik, ahol p egy prímszám. A rezultánst gyakran a Lazard–Rioboo–Trager-módszerrel számítják, hogy megkapják két polinom hányadosának integrálját.
• A waveletek elméletében a rezultáns kapcsolatban áll a finomítható függvények átviteli mátrixának determinánsával.

Kapcsolat az euklideszi algoritmussal

Hasonló képletet kaphatunk a kibővített euklideszi algoritmussal. Ebből egy hatékony kiszámítási eljárást lehet levezetni, a szubrezultáns-eljárást.

Többváltozós polinomok rezultánsa

A két változós homogén polinomok rezultánsa nullává válik, ha a két polinomnak közös nem nulla megoldása van, vagy ekvivalensen, közös zérójuk van a projektív egyenesen. Általánosabban, a multipolinomiális rezultáns, multivariáns rezultáns vagy Macaulay-rezultáns n darab n változós homogén polinomra értelmezett polinom, ami nullává válik, ha van egy közös nem nulla megoldás, vagy ekvivalensen, ha az n projektív hiperfelületeknek közös zérója van az n-1 dimenziós projektív térben. A Gröbner-bázisokkal együtt ez a hatékony kiküszöbölési elmélet egyik fő eszköze.

Források

• Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, Sablon:ISBN, Sablon:Doi.
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation

Fordítás

• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás