Redukált maradékrendszer

Legyen az m modulus rögzített. Az a-val reprezentált maradékosztályt redukált maradékosztálynak nevezzük, ha a és m relatív prímek.

Ha minden redukált maradékosztályt egy-egy számmal reprezentálunk, akkor ezek redukált maradékrendszert alkotnak.

Tulajdonságok, tételek

A mod m redukált maradékosztályok száma $\varphi (m)$ (ahol $\varphi (m)$ az Euler-függvény), így a mod m redukált maradékrendszerek $\varphi (m)$ eleműek.

Kritériumok

Tétel Néhány egész szám akkor és csak akkor alkot redukált maradékrendszert mod m, ha teljesülnek a következők:

• számuk $\varphi (m)$
• inkongruensek egymással mod m
• relatív prímek m-hez

Bizonyítás

A redukált maradékosztályok száma $\varphi (m)$. Mindegyiket egy és csak egy elemmel reprezentáltunk, ezért $\varphi (m)$ van belőlük.

Minden egyes maradékosztályból egy elemet vettünk ki, ezért ezek nem kongruensek egymással.

A reprezentánsrendszer minden eleme relatív prím m-hez, mert mindegyik redukált maradékosztályból való.

Tekintsünk most $\varphi (m)$ darab, a kritériumoknak megfelelő számot. Mivel nincsenek közöttük egymással kongruens elemek, azért csupa különböző maradékosztályokba tartoznak.

Relatív prímek m-hez, így csak redukált maradékosztályoknak lehetnek elemei.

Számuk $\varphi (m)$, ezért az összes redukált maradékosztályt reprezentálják.

Újabb redukált maradékrendszer

Tétel

Ha $r_1,r_2,\dots ,r_{\varphi (m)}$ redukált maradékrendszer, és a relatív prím m-hez, akkor az ar_i számok is redukált maradékrendszert alkotnak mod m.

Bizonyítás - Ellenőrizzük az előző tételben szereplő tulajdonságokat.

• az új rendszer elemszáma $\varphi (m)$
• ha ar_i kongruens ar_j lenne, akkor r_i kongruens r_j lenne, mert a relatív prím m-hez
• m-hez relatív prímek szorzásával m-hez relatív prímeket kapunk.

További információk

• Alice és Bob - 20. rész: Alice, Bob, Euler és Fermat

Források

Freud Róbert - Gyarmati Edit: Számelmélet