Praktikus számok

A számelmélet területén egy pozitív egész szám akkor tartozik a praktikus számok vagy pánaritmikus számok közé, ha egymástól különböző osztóinak összegével az összes nála kisebb pozitív egész szám kifejezhető. Például a 12 praktikus szám, mert 1-től 11-ig a számok kifejezhetők 12 osztóinak, tehát az 1, 2, 3, 4, 6 összegeként (beleértve magukat az osztókat): 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 és 11 = 6 + 3 + 2.

A praktikus számok sorozata Sablon:OEIS így kezdődik:

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

A praktikus számok megjelentek Fibonacci 1202-ben íródott Liber Abaci-jében, racionális számok egyiptomi törtekkel való kifejezésével kapcsolatban. Fibonacci formálisan nem definiálta a praktikus számok fogalmát, de táblázatában megjelennek a praktikus nevezőjű törtek egyiptomi törtekkel való kifejezései.

Maga a „praktikus szám” kifejezés Sablon:Harvtxt-nak köszönhető, aki először próbálta meg osztályozni ezeket a számokat, amit aztán Sablon:Harvtxt és Sablon:Harvtxt fejezett be. Karakterizációjuk alapján egyszerűen eldönthető egy szám praktikussága prímtényezős felbontásuk alapján. Minden páros tökéletes szám és minden kettőhatvány is praktikus szám.

A praktikus számok több jellemzőjük alapján analógiát mutatnak a prímszámokkal.

A praktikus számok karakterizációja

Ahogy Sablon:Harvtxt és Sablon:Harvtxt megmutatták, egy szám praktikus volta egyszerűen eldönthető prímfelbontása alapján. Legyen $n>1$ pozitív egész szám prímtényezős felbontása $n=p_1^{{\alpha }_1}...p_k^{{\alpha }_k}$ (ahol a prímek sorba vannak rendezve, $p_1<p_2<\dots <p_k$); ebben az esetben $n$ akkor és csak akkor praktikus szám, ha minden $p_i$ prímtényezője kellően kicsi ahhoz, hogy $p_i-1$ kifejezhető legyen a kisebb osztók összegeként. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, az első $p_1$ prímnek 2-nek kell lennie, és minden Sablon:Mvar-re 2 és Sablon:Mvar között, minden további $p_i$-nek teljesítenie kell a következő egyenlőtlenséget:

$p_i\le 1+\sigma (p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_{i-1}^{{\alpha }_{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{{\alpha }_j+1}-1}{p_j-1},$

ahol $\sigma (x)$ jelöli x osztóinak összegét. Például 2 × 3² × 29 × 823 = 429606 praktikus szám, mivel a fenti egyenlőtlenség igaz mindegyik prímtényezőjére: 3 ≤ σ(2)+1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3²)+1 = 40 és 823 ≤ σ(2 × 3² × 29)+1=1171. Ez a karakterizáció kiterjeszti Sablon:Harvtxt részleges klasszifikációját.

A fenti feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy szám praktikus legyen. Egyrészt, a feltétel szükséges ahhoz, hogy a $p_i-1$ kifejezhető legyen n osztóinak összegeként, mivel ha az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az összes kisebb osztót összeadva sem érné el az összeg a $p_i-1$-et. Másrészt, a feltétel elégséges is, ami indukcióval megmutatható.

Ennél jóval erősebb állítást fogunk bizonyítani: ha n prímtényezős felbontása kielégíti a fenti feltételeket, akkor bármely $m\le \sigma (n)$ kifejezhető n osztóinak összegeként, a következő lépésekben:

• Legyen $q=\min \{\lfloor m/p_k^{{\alpha }_k}\rfloor ,\sigma (n/p_k^{{\alpha }_k})\}$ és legyen $r=m-q{p}_k^{{\sigma }_k}$.
• Mivel $q\le \sigma (n/p_k^{{\alpha }_k})$ és $n/p_k^{{\alpha }_k}$ indukcióval igazolhatóan praktikus számok, ezért q kifejezhető $n/p_k^{{\alpha }_k}$ osztóösszegeként.
• Mivel $r\le \sigma (n)-p_k^{{\alpha }_k}\sigma (n/p_k^{{\alpha }_k})=\sigma (n/p_k)$, és mivel $n/p_k$ indukcióval igazolhatóan praktikus, r felírható $n/p_k$ osztóinak összegeként.
• Az r-et reprezentáló osztók, együtt $p_k^{{\alpha }_k}$-szor a q-t reprezentáló minden egyes osztóval együtt alkotják m reprezentációját mint n osztóinak összege.

Tulajdonságaik

• Az egyetlen páratlan praktikus szám az 1, mivel ha n > 2 páratlan szám, akkor 2 nem fejezhető ki n osztóinak összegeként. Ennél erősebb Sablon:Harvtxt megfigyelése, miszerint 1 és 2 kivételével minden praktikus szám osztható 4-gyel és/vagy 6-tal.
• Két praktikus szám szorzata is praktikus szám. Ennél erősebb kitétel, hogy bármely két praktikus szám legkisebb közös többszöröse is praktikus szám.
• A praktikus számok halmaza szorzásra nézve zárt.
• Stewart és Sierpiński fenti karakterizációjából látható az is, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám.
• A praktikus számok közül megkülönböztethetjük a primitív praktikus számokat. A primitív praktikus számok olyan praktikus számok, melyek vagy négyzetmentes számok, vagy elosztva valamely 1-nél nagyobb kitevőjű prímosztójukkal a hányados már nem ad praktikus számot. A primitív praktikus számok sorozata Sablon:OEIS így kezdődik:

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Kapcsolatuk más számcsoportokkal

Számos említésre méltó egész számhalmaz létezik, ami kizárólag praktikus számokból áll:

• Abból, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám, következik, hogy 2 és 3 minden hatványának hatszorosa is praktikus szám.
• Minden kettőhatvány praktikus szám. Kettő hatványai triviálisan kielégítik a prímfelbontási követelményeket: a prímtényezős felbontásukban egyedül szereplő p₁ a feltételek szerint megegyezik kettővel.
• Minden páros tökéletes szám is praktikus szám. Ez következik Leonhard Euler eredményéből, miszerint minden páros tökéletes szám felírható 2^n − 1(2ⁿ − 1) alakban. A felbontás páratlan része megegyezik a páros rész osztóösszegével, így minden ilyen szám páratlan prímosztója legfeljebb a páros rész osztóösszege lehet. Ezért a szám kielégíti a praktikus számok követelményeit.
• Minden primoriális (az első valahány prímszám szorzata) praktikus szám. Az első két primoriálisra, 2-re és 6-ra ez egyértelmű. A többi primoriálist úgy képezzük, hogy egy p_i prímszámot összeszorzunk egy kisebb primoriálissal, ami osztható 2-vel és a következő legkisebb prímszámmal, p_i − 1-gyel. A Bertrand-posztulátum alapján p_i < 2p_i − 1, tehát a primoriális minden rákövetkező prímtényezője kisebb az előző primoriális valamely osztójánál. Indukcióval belátható, hogy minden primoriális megfelel a praktikus számok karakterizációjának.
• A primoriálisokat általánosítva, bármely szám, ami az első k prímszám nemnulla hatványának szorzatából áll elő, szintén praktikus szám. Ebbe beletartoznak a Rámánudzsan által definiált erősen összetett számok (számok, melyeknek több osztójuk van a náluk kisebb összes számnál) és a faktoriális számok is.

Praktikus számok és egyiptomi törtek

Ha n praktikus szám, akkor bármely m/n alakú racionális szám kifejezhető a ∑d_i/n összeggel, ahol minden d_i az n-nek különböző osztója. Az összeg minden tagja egységtörtté egyszerűsíthető, ezért az összeg megfelel m/n egyiptomi törtként való kifejezésének. Például:

$\frac{13}{20}=\frac{10}{20}+\frac{2}{20}+\frac{1}{20}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}.$

Fibonacci 1202-es Liber Abaci-jében számos módszert ír le racionális számok egyiptomi törtként való felírására. Ezek közül az első annak vizsgálata, hogy a szám esetleg máris egységtört, de a másodikban megkísérli kifejezni a számlálót a nevező osztóinak összegeként; ez a módszer csak akkor ad garantáltan eredményt, ha a nevező praktikus szám. Fibonacci táblázatokat készített az olyan törtekhez, ahol a számláló a 6, 8, 12, 20, 24, 60 és 100 praktikus számok egyike.

Sablon:Harvtxt megmutatta, hogy minden x/y alakú szám kifejezhető legfeljebb $O(\sqrt{\log y})$ tagból álló egyiptomi tört alakban. A bizonyítás részeként praktikus számok n_i sorozatát keressük azzal a tulajdonsággal, hogy minden n_i-nél kisebb szám felírható az n_i szám $O(\sqrt{\log n_{i-1}})$ különböző osztójának összegeként. Ekkor úgy választjuk meg i-t, hogy n_i − 1 < y ≤ n_i és xn_i-t y-nal elosztva q-t kapunk r maradékkal. Az előző választásainkból következik, hogy $\frac{x}{y}=\frac{q}{n_i}+\frac{r}{y{n}_i}$. A jobb oldal számlálóit kibontva n_i osztóösszegeinek alakjába megkapjuk a kívánt egyiptomi tört-alakot. Sablon:Harvtxt hasonló technikát alkalmaz, de praktikus számok egy másik sorozatát használja annak megmutatására, hogy minden x/y alakú szám felírható egyiptomi tört alakban oly módon, hogy a legnagyobb nevező $O(\frac{y{\log }^{2}y}{\log \log y})$.

Szun Cse-vej 2015. szeptemberi sejtése szerint bármely pozitív racionális szám felírható véges számú praktikus szám reciprokösszegeként, tehát olyan egyiptomi törtkifejezésként, ahol minden nevező praktikus szám. A sejtés bizonyítása David Eppstein blogján olvasható.

Prímszámokkal való analógiák

A praktikus számok iránti érdeklődés egyik oka, hogy számos tulajdonságukban hasonlítanak a prímszámokra. Valóban, léteznek a Goldbach-sejtésnek és az ikerprím-sejtésnek analógiái praktikus számokra nézve: minden pozitív egész szám felírható két praktikus szám összegeként, illetve végtelen számú x − 2, x, x + 2 alakú praktikusszám-triplet létezik. Melfi megmutatta, hogy végtelen számú praktikus Fibonacci-szám létezik Sablon:OEIS; az analóg kérdés, hogy létezik-e végtelen számú Fibonacci-prím, még eldöntetlen. Sablon:Harvtxt megmutatta, hogy bármely pozitív valós x-re létezik praktikus szám az [x²,(x + 1)²] intervallumban, ami analóg a prímszámokra vonatkozó Legendre-sejtéssel.

Jelölje p(x) a legfeljebb x nagyságú praktikus számok számát. Sablon:Harvtxt sejtése szerint p(x) aszimptotikusan egyenlő cx/log x-szel valamely c konstansra, ami a prímszámtételre emlékeztető képlet. A képlet megerősíti Sablon:Harvtxt sejtését, miszerint a praktikus számok zéró sűrűséggel helyezkednek el az egészek között. Sablon:Harvtxt bizonyította, hogy megfelelő c₁ és c₂ konstansokra:

$c_1\frac{x}{\log x}<p(x)<c_2\frac{x}{\log x},$

Végül Sablon:Harvtxt bizonyította Margenstern sejtését, megmutatva, hogy

$p(x)=\frac{cx}{\log x}(1+O\left(\frac{\log \log x}{\log x}\right)),$

ha $x\ge 3$ és a konstans $c>0$.

Egyéb sejtések

Szun Cse-vej 2013-as sejtése szerint az $a(n{)}^{(1/n)}$ (n = 3, 4,...) sorozat szigorúan monoton csökkenő, határértéke 1.

Szun Cse-vej 2015-ös sejtése szerint bármely r pozitív racionális számhoz léteznek olyan, páronként különböző q(1)..q(k) praktikus számok, melyekre igaz, hogy $r=\sum _{j=1..k}\frac{1}{q(j)}.$
Például 2 = 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12, ahol 1, 2, 4, 6 és 12 praktikus számok, vagy 10/11 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/48 + 1/132 + 1/176, ahol 2, 4, 8, 48, 132 és 176 praktikus számok.

Irodalom

• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation. As cited by Sablon:Harvtxt.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation. As cited by Sablon:Harvtxt.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation. As cited by Sablon:Harvtxt and Sablon:Harvtxt.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.
• Sablon:Citation.

További információk

• Tables of practical numbers Sablon:Wayback compiled by Giuseppe Melfi.
• Sablon:PlanetMath
• Sablon:Mathworld