Pick-tétel

b = 7, k = 8,
T = b + k/2 − 1 = 10

A Pick-tétel egy diszkrét geometria témakörébe tartozó tétel. Először Georg Alexander Pick publikálta 1899-ben. A tétel egy rácssokszög területét adja meg a belsejében és az oldalain található rácspontok számából:

$T=b+k/2-1$

ahol b a belsejében, k az oldalain és a csúcsain található rácspontok számát jelöli.

Bizonyítás

Legyen a rácssokszög csúcsainak száma n, élein található rácspontok száma e, belsejében található rácspontok száma b. Osszuk fel a rácssokszöget maximális számú, átfedés nélküli üres rácsháromszögre! (Ahol az üres alatt azt értjük, hogy se a belsejében, se az oldalain nem tartalmaz rácspontot.) Mivel minden rácspont kizárólag csúcson lesz, élen vagy belül nem, a körülötte levő szögek mind a háromszögek csúcsainál levő szögek lesznek. Felhasználva, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°, és hogy egy n-szög belső szögeinek összege (n-2)*180°, azt kapjuk, hogy bármilyen felosztásnál pontosan $2b+e+n-2$ üres rácsháromszög keletkezik.

Most szükségünk lesz egy lemmára: minden üres rácsháromszög területe ½.

A területét alulról korlátozhatjuk például vektoriális szorzással. Mivel minden csúcsának koordinátája egész, egyik csúcsát origónak véve a területe

$T=\frac{|a_x{b}_y-a_y{b}_x|}{2}$

amely érték nem kisebb ½.-nél. A területet felülről korlátozhatjuk például egy ismert területű rácssokszög felvételével. Ha adott egy tetszőleges üres rácsháromszög, vegyünk fel köré egy megfelelően nagy, k oldalhosszú négyzetet. Osszuk fel a négyzetet üres rácsháromszögekre, hogy az általunk kiválasztott rácsháromszög is köztük legyen.

N = 2 · (k-1)² + 4 · (k-1) + (4 - 2) = 2 k²

darab üres rácsháromszögre bontható föl egy k² területű négyzet, tehát minden benne lévő üres rácsháromszög területe, és így az általunk belátni kívánté is ½.

Tehát egy rácssokszög területe:

T = ½ · (2 b + e + (n - 2)) = b + ½ k -1

Források

• Sablon:Cite journal (egy, a német matematikai társaságnak Prágába küldött előadás szerkesztett változata)
• Michael Schmitz, Strukturgenetische didaktische Analysen zum Satz von Georg Pick und zu Gleichungen vom Grad größer als zwei, Dissertation, Universität Flensburg, 2014 (PDF; 8,7 MB)

Kapcsolódó szócikkek

• Reeve-tetraéderSablon:Linkiw: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) és (1, 1, r) csúcsú tetraéderek, melyeknek se az oldallapjain, se a belsejükben nincs rácspont, de különböző a térfogatuk, így bizonyítják, hogy térben ez az adat már nem határozza meg egy rácspoliéder térfogatát