Ortáns

Két dimenzióban négy ortáns van, a síknegyedek

Az ortáns vagy hiperoktáns a koordinátageometriában a síknegyed és a térnyolcad általánosítása $n$ dimenziós euklideszi terekre.

Általában az ortáns az $n$ dimenziós euklideszi terekben $n$ egymásra kölcsönösen ortogonális féltér metszete. Mivel az előjelek egymástól függetlenül választhatók, azért az $n$ dimenziós euklideszi terekben $2^n$ ortáns van.

A síknegyedeket, illetve a térnyolcadokat nyílt halmazokként definiálják, azaz a tengelyek, illetve koordinátasíkok nem tartoznak egyikhez sem. Azonban értelmezhetők a zárt ortánsok, ami a szigorú egyenlőtlenségek helyett csak nemnegativitást, vagy nempozitivitást kötnek ki:

ε₁x₁ ≥ 0      ε₂x₂ ≥ 0     · · ·     ε_nx_n ≥ 0,

ahol minden ε_i a +1 vagy a −1 értéket veszi fel.

A nyílt ortánsok definíciója hasonló:

ε₁x₁ > 0      ε₂x₂ > 0     · · ·     ε_nx_n > 0,

ahol minden ε_i a +1 vagy a −1 értéket veszi fel.

Dimenzió szerint az ortánsok:

• Egy dimenzióban a nulla által kettéosztott számegyenes pozitív, illetve negatív fele.
• Két dimenzióban a síknegyedek.
• Három dimenzióban a térnyolcadok.

John Conway definiálta az $n$-ortoplex fogalmát az ortáns komplexből, mint szabályos politóp $n$ dimenzióban, $2^n$ szimplex lappal, ortánsokként eggyel.

A nemnegatív ortáns az első síknegyed, illetve térnyolcad általánosítása, melyben minden koordináta pozitív. Ennek jelentőősége van sok optimalizációs problémában.

Lásd még

• Keresztpolitóp (vagy ortoplex) - szabályos politópok n dimenzióban, melyek konstruálhatók úgy, hogy egy szimplex lapjuk van minden ortánsban.
• Hiperkocka - szabályos politópok n dimenzióban, melyek konstruálhatók úgy, hogy egy csúcsuk van minden ortánsban.
• Ortotóp - A téglalap általánosítása n-dimenzióban, konstruálható úgy, hogy egy csúcsa van minden ortánsban.

Forrás

• The facts on file: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, isbn = 0-8160-4875-4, p.113