Nilradikál

A nilradikál az algebrában egy kommutatív gyűrű nilpotens elemeiből álló ideálja. Nemkommutatív esetben ez a definíció különböző módokon általánosítható.

Kommutatív gyűrűk nilradikálja

Legyen $R$ egy kommutatív gyűrű. A nilradikál $R$ nilpotens elemeinek halmaza:

$\mathrm{nil}(R)=\{r\in R\mid \mathrm{\exists }n\in \mathbb{Z},n\ge 1:r^n=1\}$

A binomiális tétel miatt bármely két nilpotens elem összege is nilpotens, és a kommutativitás miatt bármely elem nilpotens elemmel vett szorzata is nilpotens – következésképpen a nilradikál valóban ideál. A definíciót úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a nilradikál a $(0)$ ideál radikálja (ekkor automatikusan adódik, hogy maga is ideál).

Belátható, hogy a nilradikál megegyezik a gyűrű prímideáljainak metszetével (és így megegyezik a minimális ideálok metszetével is). Mivel minden maximális ideál prím, a maximális ideálok metszeteként kapott $\mathrm{J}(R)$ Jacobson-radikál tartalmazza a nilradikált. Egy gyűrűt Jacobson-gyűrűnek nevezünk, ha minden $𝔭\in \mathrm{Spec}R$ prímideálra

$\mathrm{nil}(R/𝔭)=\mathrm{J}(R/𝔭)$.

Minden Artin-gyűrű Jacobson, és nilradikálja a gyűrű maximális nilpotens ideálja. Általában ha a nilradikál végesen generált (például mert a gyűrű Noether-gyűrű), akkor nilpotens.

Egy gyűrűt redukált gyűrűnek nevezünk, ha nincs nemnulla nilpotens eleme, azaz nilradikálja $(0)$. Tetszőleges $R$ kommutatív gyűrűre az

$R_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}=R/\mathrm{nil}(R)$

faktorgyűrű redukált.

Fordítás

• Sablon:Fordítás