Maximális ideál

Egy maximális ideál az algebrában, azon belül a gyűrűelméletben egy olyan ideál, ami a valódi ideálok között tartalmazásra nézve maximális.

Definíciók

Legyen $R$ egy gyűrű és $I⊊R$ egy valódi ideál. Ekkor $I$ maximális kétoldali ideál, ha a következő ekvivalens tulajdonságok teljesülnek:

• Nem létezik olyan $J⊊R$ valódi ideál, hogy $I⊊J$.
• Minden $J$ ideálra $I\subseteq J$-ből következik, hogy $I=J$ vagy $J=R$.
• Az $R/I$ faktorgyűrű egyszerű.

Analóg módon definiálhatók a egyoldali maximális ideálok is; a következőkben csak a jobboldali definíciók szerepelnek. Legyen $A\subseteq R$ egy jobbideál. Ekkor $A$ jobboldali maximális ideál, ha a következő ekvivalens feltételek teljesülnek:

• Nem létezik olyan $B⊊R$ valódi jobbideál, hogy $A⊊B$.
• Minden $B$ jobbideálra $A\subseteq B$-ből következik, hogy $A=B$ vagy $B=R$.
• Az $R/A$ faktormodulus egyszerű.

Az egy- illetve kétoldali maximális ideálok fogalma a minimális ideálok fogalmának duálisa.

Példák

• Testekben az egyetlen maximális ideál $\{0\}$.
• A $ℂ[x]$ polinomgyűrű maximális ideáljai az $x-c$ elemek által generált főideálok, ahol $c\in ℂ$.
• A racionális egész számok $\mathbb{Z}$ gyűrűjében a maximális ideálok a prímszámok által generált főideálok.
• Általánosabban egy főidálgyűrű maximális ideáljai a nemnulla prímideálok.
• Egy algebrailag zárt $K$ test feletti $K[X_1,\dots ,X_n]$ polinomgyűrű maximális ideáljai az $(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)$ alakú ideálok (ez az úgynevezett gyenge Nullstellensatz).

Tulajdonságok

• Ha $R$ egységelemes kommutatív gyűrű és $𝔪\subseteq R$ ideál, akkor $𝔨=R/𝔪$ akkor és csak akkor test, ha $𝔪$ maximális ideál. Ilyenkor $𝔨$-t az $𝔪$ maximális ideál maradéktestének nevezzük. Az állítás nem-egységelemes gyűrűkben nem igaz: $4\mathbb{Z}\subset 2\mathbb{Z}$ maximális ideál, de $2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ nem test.
• Krull tétele: minden nemzéró egységelemes gyűrűben van maximális ideál. Az állítás igaz egyoldali ideálokra is.
• Kommutatív egységelemes gyűrűkben minden maximális ideál prímideál; a megfordítás általában nem igaz.

Fordítás

• Sablon:Fordítás