Négyzetek különbsége

A matematikában a négyzetek különbsége olyan kifejezés, amelyben egy kifejezés négyzetéből egy másik kifejezés négyzete kerül kivonásra. Minden ilyen kifejezés a következő elemi algebrai azonosság alapján szorzattá alakítható:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Bizonyítás

Algebrai

Az azonosság bizonyítása rendkívül egyszerű. A zárójel felbontása után a következőt kapjuk:

$(a+b)(a-b)=a^2+ba-ab-b^2$.

A szorzás kommutativitása miatt a középső tagok kiesnek:

$ba-ab=0$,

és marad az, hogy

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Ezen azonosság az egyik leggyakrabban használt a matematikában. Például egyszerűen bizonyítható segítségével a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség két változó esetén.

A bizonyításból látható, hogy az azonosság bármilyen kommutatív gyűrűben igaz. Ennek megfordítása is igaz, ha egy gyűrű minden elemére igaz az azonosság, akkor a gyűrű kommutatív. Ennek bizonyítása az, hogyha minden a és b elemre fennáll, hogy

$(a-b)(a+b)=a^2+ba-ab-b^2=a^2-b^2$,

akkor az csak úgy lehetséges, ha

$ba-ab=0$,

amely alapján a gyűrű kommutatív.

Geometriai

A négyzetek különbsége geometriailag is illusztrálható két síkbeli négyzet területével. A képen a sötét rész szimbolizálja a két négyzet területének különbségét (azaz $a^2-b^2$). Ez a terület azonban kifejezhető két téglalap területeinek összegeként is, amelyből következik, hogy $a^2-b^2=a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b)$.

Egy másik geometriai bizonyítás a következő: az alsó ábra első képen látható állapottal kezdünk, egy nagyobb négyzet, amelyből egy kisebb négyzet ki lett vágva. A nagy négyzet oldalhossza a, a kivágott négyzet oldalhossza b. A sötét rész területe $a^2-b^2$. Egy vágás felbonthatjuk két téglalapra az ábrát, ahogy a második képen látható. A nagyobb rész szélessége a, magassága a-b. A kisebb rész szélessége a-b, magassága b. A kisebb területet forgatás után a nagyobb terület oldalához illeszthetjük. Az utolsó képen látható ez az elrendezés, amelyben egy két terület együtt egy téglalapot alkot. Ezen téglalap területe $(a+b)(a-b)$. Mivel ezen téglalap az eredeti állapot átrendezésével keletkezett, a két területnek ugyanannyinak kell lennie. Tehát $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Alkalmazás

Polinomok szorzattá alakítás és egyszerűsítés

Az azonosságot nagyon gyakran lehet polinomok szorzattá alakításához használni, például a $x^4-1$ kifejezés a következőképpen bontható kifejezések szorzatára:

$x^4-1=(x^2{)}^2-1^2=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x-1)(x+1)$.

A némileg bonyolultabb $x^2-y^2+x-y$ esetében is hasonlóan járhatunk el:

$x^2-y^2+x-y=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)$.

Továbbá kifejezések egyszerűsítésére is remekül alkalmazható az azonosság:

$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab$.

Négyzetek összege komplex számokkal

A négyzetek különbségére vonatkozó azonosságot felhasználhatjuk négyzetek összegének szorzattá alakításához komplex számok segítségével.

Például, a $z^2+4$ szorzattá alakítását a következőképpen végezhetjük el:

$z^2+4$

$=z^2-i^2\cdot 4$ (mivel $i^2=-1$)

$=z^2-(2i{)}^2$

$=(z+2i)(z-2i)$

Nevező gyöktelenítése

Az azonosság segítségével az irracionális nevezőket átalakíthatjuk racionálissá, amellyel megkönnyíthetjük a további algebrai átalakításokat.

Például, ha a $\frac{5}{\sqrt{3}+4}$ tört nevezőjét szeretnénk gyökteleníteni, akkor a következőképpen járhatunk el:

$\frac{5}{\sqrt{3}+4}$

$=\frac{5}{\sqrt{3}+4}\times \frac{\sqrt{3}-4}{\sqrt{3}-4}$

$=\frac{5(\sqrt{3}-4)}{(\sqrt{3}+4)(\sqrt{3}-4)}$

$=\frac{5(\sqrt{3}-4)}{{\sqrt{3}}^2-4^2}$

$=\frac{5(\sqrt{3}-4)}{3-16}$

$=-\frac{5(\sqrt{3}-4)}{13}$.

Fejszámolás

A fejszámolás is meggyorsítható, ha ismerjük az azonosságot. Ha két számot szeretnék összeszorozni, amelyeknek átlaga könnyen négyzetre emelhető, akkor érdemes alkalmazni.

Például, a $27\cdot 33$ esetében a következőt tehetjük:

$27\cdot 33=(30-3)(30+3)=30^2-3^2=900-9=891$.

Egymást követő négyzetszámok különbsége

$\begin{array}{ccc}(n+1{)}^2-n^2& =& ((n+1)+n)((n+1)-n)\\ & =& 2n+1\end{array}$

Azaz két egymást követő négyzetszám különbsége mindig páratlan. Hasonlóan számítható két tetszőleges négyzetszám különbsége is:

$\begin{array}{ccc}(n+k{)}^2-n^2& =& ((n+k)+n)((n+k)-n)\\ & =& k(2n+k)\end{array}$

Ebből következik, hogy két páros négyzetszám különbsége mindig osztható néggyel, és két páratlan négyzetszám különbsége mindig 8 többszöröse.

Általánosítás

Két n-edik hatvány különbsége

Az azonosság tetszőleges pozitív egész kitevőre általánosítható. Ha a és b egy kommutatív gyűrű elemei, akkor

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\dots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)\left(\sum _{k=0}^{n-1}{a}^{n-1-k}{b}^k\right)$.

Fordítás

• Sablon:Fordítás