Multifokális ellipszis

Három megadott fókusszal rendelkező n-ellipszisek. A távolságok nem lineárisan skálázódnak.

A matematika, azon belül a geometria területén az n-ellipszis az ellipszis olyan általánosítása, ami a megszokott két fókusztól eltérő számú fókuszt is megenged. Az n-ellipszisek további elnevezései a multifokális ellipszis, poliellipszis, egglipse, k-ellipszis, és Tschirnhaus'sche Eikurve (Ehrenfried Walther von Tschirnhaus után). Elsőként James Clerk Maxwell tanulmányozta őket, 1846-ban.

Ha a síkban megadunk n darab fókuszpontot u_i, v_i koordinátáikkal, egy n-ellipszis a síkban azon pontok mértani helye, melyek az n fókuszponttól mért távolságösszege egy d konstanssal egyezik meg. Matematikai képlettel:

$\{(x,y)\in {𝐑}^2:\sum _{i=1}^n\sqrt{(x-u_i{)}^2+(y-v_i{)}^2}=d\}.$

Az 1-ellipszis a körrel egyezik meg, a 2-ellipszis pedig a klasszikus ellipszissel. Mindkettő 2 fokszámú algebrai görbe.

Bármely n fókuszszámra igaz, hogy az n-ellipszis zárt, konvex görbe.^{p. 90} A görbe sima, kivéve ha keresztülmegy az egyik fókuszon.^p.7

Az n-ellipszisről általánosságban elmondható, hogy egy konkrét algebrai egyenletet kielégítő pontok részhalmaza alkotja.^{Figs. 2 és 4; p. 7} Ha n páratlan, a görbe algebrai fokszáma $2^n$, míg ha n páros, a fokszám $2^n-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n/2})$.^{Thm. 1.1}

Kapcsolódó szócikkek

• Általánosított kúpszelet

Fordítás

• Sablon:Fordítás

További információk

• P.L. Rosin: "On the Construction of Ovals"
• B. Sturmfels: "The Geometry of Semidefinite Programming", pp. 9–16.