Minkowski-egyenlőtlenség

A matematikai analízisben a Minkowski-egyenlőtlenség lényegében azt mutatja, hogy az L^p tér normált vektortér. Legyen S egy mértéktér, legyen 1 ≤ p ≤ ∞, és legyenek f és g az L^p(S) elemei. Ekkor f + g is L^p(S)-ben van, és a következőt kapjuk

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha 1<p<∞, és f és g lineárisan függők.

A Minkowski-egyenlőtlenség nem más, mint a háromszög-egyenlőtlenség az L^p(S)-ben.

A Hölder-egyenlőtlenséghez hasonlóan, a Minkowski-egyenlőtlenséget f =(x₁, x₂, ...,x_n)-re és g=(y₁, y₂, ...,y_n)-re felírva, ha a p-normában a számlálómérték szerint integrálunk, sorozatokra és vektorokokra vonatkozó állítást kapunk:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

ahol x₁, …, x_n, y₁, …, y_n tetszőleges valós vagy komplex számok.

Bizonyítás

Először bebizonyítjuk, hogy, ha f-nek és g-nek is van véges p-normája, akkor f+g-nek is, ami következik az alábbi egyenlőtlenségből:

$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p)$

Ez az egyenlőtlenség teljesül, felhasználva hogy $h(x)=x^p$ függvény a nemnegatív számokon konvex ${ℝ}^{+}$-ben (feltéve, hogy p nagyobb mint egy), a konvexitás definícióját felírva, és alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget:

${|\frac{1}{2}f+\frac{1}{2}g|}^p\le \frac{1}{2}|f{|}^p+\frac{1}{2}|g{|}^p$

Ez azt jelenti, hogy

$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}|f{|}^p+2^{p-1}|g{|}^p$

Most már jogosan beszélhetünk $(\Vert f+g{\Vert }_p)$-ról. Ha ez nulla, akkor a Minkowski-egyenlőség teljesül. Most feltesszük, hogy $(\Vert f+g{\Vert }_p)$ nem nulla. Felhasználva a Hölder-egyenlőtlenséget

$\Vert f+g{\Vert }_p^p=\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu$

$\le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$=\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le }({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}$

$=(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}$

Most már megkapjuk a Minkowski-egyenlőtlenséget, ha beszorozzuk mindkét oldalt $\frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f+g{\Vert }_p^p}$-val.

További információk

• Sablon:Cite book
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, Sablon:ISBN