Maximumelv

A komplex cos(z) függvény grafikonja (pirossal) a kék egységkörlapon (kékkel). Ahogy a tétel állítja, a maximum a körlap szélén vevődik fel

A komplex analízisben a maximumelv azt állítja, hogy ha f holomorf függvény, akkor abszolútértékének, |f| nem veszi fel maximumát egy tartományban, kivéve, ha f konstans. Más szóval, ha f nem konstans, akkor a tartományban minden ponthoz van egy másik pont, ahol |f| nagyobb.

Formális állítás

Legyen f függvény, és legyen f holomorf a komplex sík egy f tartományán (összefüggő nyílt halmaz), aminek értékei szintén komplexek! Ha z₀ pont a D-ben úgy, hogy :$|f(z_0)|\ge |f(z)|$

a z₀ egy környezetében, akkor f konstans D-ben. Az f függvény reciprokára alkalmazva a maximumelvet, majd ennek reciprokát véve kapjuk a minimumelvet, hogy ha z₀ pont a D-ben úgy, hogy

$|f(z_0)|\le |f(z)|$

a z₀ egy környezetében, akkor f konstans D-ben. Azaz |f| nem veszi fel minimumát egy tartományban, kivéve, ha f konstans. Minimális, illetve maximális érték a tartomány határán található.

Alkalmazásai

A maximumelvnek számos alkalmazása van a komplex analízisben. Használható a következők bizonyításához:

• Az algebra alaptétele
• Schwarz-lemma, egy hasznos lemma aminek több általánosítással
• Phragmén–Lindelöf-elv, korlátlan tartományokra kiterjesztett változat
• Borel–Carathéodory-tétel, ami az analitikus függvényt valós részében korlátozza
• Hadamard három egyenesről szóló tétele, egyenesen korlátos holomorf függvény viselkedése két párhuzamos egyenesen

Bizonyítás

Harmonikus függvények maximumelvével

Az

log f(z) = ln |f(z)| + i arg f(z)

egyenlőség szerint ln |f(z)| harmonikus függvény. Mivel z₀ ennek is lokális maximuma, a harmonikus függvények maximumelvéből következik, hogy |f(z)| konstans. A Cauchy-Riemann egyenletekből következően f'(z)=0, tehát f(z) konstans.

Gauss középértéktételével

Gauss középértéktétele egymást átfedő körlapok pontjait kényszeríti arra, hogy a függvény ugyanazt az értéket vegye fel. Ezeket úgy vesszük fel, hogy teljesen a tartományban legyenek, és töröttvonallal kössék össze a tartomány pontjait a maximumhellyel. Ha ez a tartományban van, akkor a függvény minden pontban ezt az értéket veszi fel.

Források

• Sablon:Cite book (See chapter 5.)
• Sablon:Springer