Maximum és minimum

Sablon:Nincs forrás A matematikában egy rendezett halmaz maximumán, illetve minimumán legnagyobb, illetve legkisebb elemét értjük. Előfordulhat, hogy nincs minimum vagy maximum. Ha egy halmaz minden nemüres részhalmazának van maximuma és minimuma, akkor a halmaz jólrendezett. A maximum és a minimum rövidítései rendre max és min. További jelölései 1 és 0, illetve $\mathrm{\top }$ és $\mathrm{\perp }$.

Általában

Ha $(𝔖,\le )$ lineárisan rendezett halmaz, akkor $\max 𝔖\in 𝔖$ $𝔖$ halmaz maximuma $\le$ szerint, amennyiben $\mathrm{\forall }x\in 𝔖$ elemre $x\le \max 𝔖$, és $\min 𝔖\in 𝔖𝔖$ halmaz minimuma $\le$ szerint, amennyiben $\mathrm{\forall }x\in 𝔖$ elemre $\min 𝔖\le x$.

Unicitása

Bármely lineárisan rendezett halmaznak legfeljebb egy maximuma és egy minimuma van.

Legyen $𝔪$ és $𝔫𝔖$ két maximuma. Ekkor $\mathrm{\forall }x\in 𝔖$ elemre $x\le 𝔪$, és $x\le 𝔫$, következésképp $𝔪\le 𝔫$, és $𝔫\le 𝔪$, ahonnan következik, hogy $𝔪=𝔫$. Ugyanígy látható be a minimum unicitása.

Kvázirendezés esetén előfordulhat, hogy több minimum, illetve maximum van, melyek asszociáltak, mivel teljesül, hogy $x\le y\le x$. Mivel itt a rendezési relációnak nem kell antiszimmetrikusnak lennie, azért nem lehet egyenlőségre következtetni.

A maximális, illetve minimális elem csak teljes rendezés esetén ekvivalens a maximummal és a minimummal. Erre példa az $\{2^i\mid i\in \mathbb{N}\}\cup \{3\}$ az oszthatósági reláció szerint rendezve. Itt 3 az egyetlen maximális elem, de nem maximum.

Egzisztenciája

Nem minden halmaznak létezik maximuma, és minimuma. Például a természetes számoknak nincs maximuma az arkhimédeszi axióma szerint, az egészeknek se maximuma, se minimuma, a nem pozitív egészeknek pedig minimuma nincs. Korlátos halmazok is léteznek, amiknek nincs maximuma, például a $\{\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}$.

Minden véges nemüres láncnak van minimuma és maximuma.

Ha egy kvázirendezett halmazban van két nem asszociált maximális elem, akkor a halmaznak nincs maximuma. Ha egy kvázirendezett halmazban van két nem asszociált minimális elem, akkor a halmaznak nincs minimuma.

Véges halmazokban

Tetszőleges nem üres, véges halmaznak van maximuma és minimuma. Tegyük fel, hogy $𝔉$ egy nem üres, véges halmaz, aminek nincs maximuma. Legyen $x_1𝔉$ egy eleme; $\{x_1\}$ maximuma nyilván $x_1$. Tegyük fel, hogy adott $𝔉$-nek egy $n$ elemű $𝔓$ részhalmaza, aminek $x_n$ a maximuma. Ekkor, mivel $x_n$ nem maximuma, létezik $x_{n+1}\in 𝔉$, hogy $x_{n+1}\le x_n$. $x_{n+1}$ nyilván nem eleme $𝔓$-nek, így $𝔓\cup \{x_{n+1}\}$ $n+1$ elemű halmaz, aminek maximuma $x_{n+1}$. A teljes indukció tételét alkalmazva így tetszőleges nagy véges részhalmazát konstruáltuk meg $𝔉$-nek, ami lehetetlen. Így léteznie kell $𝔉$ maximumának. Minimumra ugyanígy.

Korlátos és zárt valós halmazokban

A valós számok tetszőleges korlátos és zárt részhalmazának van maximuma és minimuma.

Legyen $𝔉\subset ℝ$ korlátos és zárt halmaz, és legyen $𝔰𝔉$ legkisebb felső korlátja, ami létezik $ℝ$ teljes rendezettsége és $𝔉$. Tegyük fel, $𝔰\notin 𝔉$. Ekkor $𝔰\in ℝ\mathrm{\setminus }𝔖$, ami $𝔉$ zártsága miatt nyílt halmaz, így létezik olyan $\epsilon >0$, hogy $\mathrm{\forall }\delta <\epsilon :𝔰-\delta \in ℝ\mathrm{\setminus }𝔖$, így $𝔰$ nem legkisebb felső korlát. Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát $𝔉$ legkisebb felső korlátja eleme $𝔉$-nek, amiből adódik a maximum létezése. A minimum létezését hasonlóan láthatjuk be.

Kapcsolat a szuprémummal és az infimummal

Ha $x$ a $H$ halmaz legnagyobb eleme, akkor $x$ szuprémuma a $H$ halmaznak.

Ha a $H$ halmaznak nincs szuprémuma, akkor nincs maximuma sem.

Ha a $H$ halmaz szuprémuma nem eleme a halmaznak, akkor nincs maximuma.

Ha a $H$ halmaz szuprémuma eleme a halmaznak, akkor maximuma egyenlő a szuprémumával.

Hasonló a kapcsolat a minimum és az infimum között: Ha $x$ a $H$ halmaz legkisebb eleme, akkor $x$ infimuma a $H$ halmaznak.

Ha a $H$ halmaznak nincs infimuma, akkor nincs minimuma sem.

Ha a $H$ halmaz infimuma nem eleme a halmaznak, akkor nincs minimuma.

Ha a $H$ halmaz infimuma eleme a halmaznak, akkor minimuma egyenlő az infiumumával.

Teljesen rendezett halmazon

Teljes rendezés esetén minden véges nemüres részhalmaznak van maximuma és minimuma, így a

$\max (x_1,x_2,\dots ,x_n)$

$\min (x_1,x_2,\dots ,x_n)$

függvényértékek jóldefiniáltak. A definíció végezhető rekurzívan:

$\max (x_1,x_2,\dots ,x_n)=\max (x_1,\max (x_2,\dots ,x_n))$

$\min (x_1,x_2,\dots ,x_n)=\min (x_1,\min (x_2,\dots ,x_n))$

Tulajdonságai valós halmazokon

Komplexusműveletek

Két paraméter esetén teljesülnek a következők:

$\max (x_1,x_2)=\frac{x_1+x_2+|x_1-x_2|}{2}$

$\min (x_1,x_2)=\frac{x_1+x_2-|x_1-x_2|}{2}$

Ezzel könnyen belátható, hogy a maximum és aminimum folytonos függvények.

Három paraméter esetén, ahol $x_1,x_2,x_3\in ℝ$:

$\max (x_1,x_2)+x_3=\max (x_1+x_3,x_2+x_3)$

$\min (x_1,x_2)+x_3=\min (x_1+x_3,x_2+x_3)$

Legyen $A$ és $B$ tetszőleges valós halmaz, melynek létezik maximuma és minimuma. Ekkor könnyen ellenőrizhetőek a következő azonosságok:

$\max A=-\min -A$

$\max \lambda A=\{\begin{array}{cc}\lambda \max A& \text{, ha }\lambda >0\\ \lambda \min A& \text{, ha }\lambda <0\end{array}$

$\max (A+B)=\max A+\max B$

Továbbá, ha $A,B$ minden eleme nemnegatív, és $q$ tetszőleges valós, akkor

$\max A^q={(\max A)}^q$

$\max (AB)=\max A\cdot \max B$.

Mindezek a függvények folytonosak, hiszen folytonos függvények kompozíciója folytonos.

Nevezetes maximumok és minimumok

A következő két állítás ekvivalens a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel: Legyenek ${\lambda }_1\dots {\lambda }_n$ és $c$ nem negatív valósok:

$\min {\mathrm{\backslash limits}}_{\prod _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i=c}\sum _{i=1}^n{x}_i:=\min \{\sum _{i=1}^n{x}_i:\mathrm{\forall }(x_i>0)(\prod _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i=c)\}=n\sqrt[n]{\frac{c}{\prod _{i=1}^n{\lambda }_i}}$.

Tekintve a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

$\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}\ge \sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}=\sqrt[n]{\frac{c}{\prod _{i=1}^n{\lambda }_i}}$, ami egyenlőséggel teljesül, amennyiben $x_i=x_j$ minden $1\le i<j\le n$ - re, ahonnan adódik.

A most belátott állítás ekvivalens következménye a következő:

$\max {\mathrm{\backslash limits}}_{\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i=c}\prod _{i=1}^n{x}_i={\left(\frac{c}{n}\right)}^n\frac{1}{\prod _{i=1}^n{\lambda }_i}$

Forrás

• Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre, 2. Auflage, Springer, Berlin 2004, Sablon:ISBN