Komplexusműveletek

A matematikában olyan halmazok ill. függvények közti műveletet nevezünk komplexusműveletnek, amely eredménye az operandushalmazok elemein végzett műveletek eredményeinek halmaza, illetve függvényeknél pontonkénti műveletvégzés eredménye. A kifejezés az algebrából ered, ahol algebrai struktúrák részhalmazait komplexusnak nevezték.

Generált komplexusművelet

Legyen $\oplus 𝔖$ halmazon értelmezett, $n$-operandusú művelet, és ${𝔒}_1,\dots ,{𝔒}_n$ részhalmaza $𝔖$-nek. Ekkor, ha szokás szerint a $\oplus$ művelet által generált komplexusműveletet szintén $\oplus$ jelöli,

$\oplus ({𝔒}_1,\dots ,{𝔒}_n)=\{\oplus (o_1,\dots ,o_n):o_1\in {𝔒}_1,\dots ,o_n\in {𝔒}_n\}$

Példák

Komplexusösszeg

Legyen $(G,+)$ csoport, és $E,FG$ részhalmazai. Ekkor $E+F=\{u+v:u\in E,v\in F\}$; a komplexusösszeg asszociativitása nyilvánvaló, és ha $G$ Abel-csoport, kommutativitása triviálisan adódik. A lineáris algebra alapvető állítása, miszerint alterek komplexusösszege az általuk generált altér. Diszjunkt alterek komplexusösszegét direkt összegnek nevezzük, és általában $\oplus$ jellel jelöljük.

Minkowski-kombináció

Ha $X$ valós affin tér, és $E,F\subseteq X$, valamint $\alpha +\beta =1$, akkor $E$ és $F$ $\alpha$ és $\beta$ együtthatókkal vett Minkowski-kombinációja a

$\alpha E+\beta F=\{\alpha P+\beta Q:P\in E,Q\in F\}$

halmaz. Ha $X$ vektortér, akkor az $\alpha +\beta =1$ feltétel elhagyható, ilyenkor $\alpha =\beta =1$ esetben Minkowski-összegről beszélünk. Könnyen látható, hogy konvex halmazok Minkowski-kombinációja is konvex.

Komplexusszorzat

Legyen $(R,+,\cdot )$ gyűrű. Ekkor $P,Q\subseteq R$ halmazok komplexusszorzatát hagyományosan nem mint a szorzás által generált komplexusműveletet definiáljuk, hanem a így:

$P\cdot Q=\{\sum _{i=1}^k{a}_i{b}_i:a_i\in P,b_i\in Q,k\in \mathbb{N}\}$,

hogy amennyiben $I,J$ ideálok $R$-ben, komplexusszorzatuk a voltaképpeni komplexusszorzatuk által generált ideál legyen.

Pontonként vett összeg, szorzat és hatvány

Ha $f,g$ függvények, akkor

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

$(fg)(x)=f(x)g(x)$

valamint, ha $f$ teljes értelmezési tartományán van értelme $q$-val hatványozni:

$(f^q)(x)=f(x{)}^q$.