Legendre-függvény

Asszociált Legendre-függvény

A Legendre-függvény, P_λ, Q_λ, és az asszociált Legendre-függvények PSablon:Su, QSablon:Su, a Legendre-polinomok általánosításai.

A Legendre-függvényt az elméleti fizikában alkalmazzák, különösen a kvantummechanika és az elektrodinamika területén.

Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapta a nevét.

Differenciálegyenlet

Az asszociált Legendre-függvények a Legendre-függvény megoldásai:

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+[\lambda (\lambda +1)-\frac{{\mu }^2}{1-x^2}]y=0,$

ahol λ és μ komplex számok, az asszociált Legendre-függvények jellemzői (fokozat, rend/faj). A Legendre-polinomok a μ=0 fajú asszociált Legendre-függvények. Ez egy másodrendű lineáris egyenlet, három reguláris szinguláris ponttal (1, -1, és ∞).

Mint minden hasonló egyenlet, átalakítható hipergeometrikus differenciálegyenletté, a változók cseréjével, és megoldásai a hipergeometrikus függvények felhasználásával adhatók meg.

Definíció

Ezeket a függvényeket általános komplex paraméterekkel és argumentummal lehet definiálni:

$P_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left[\frac{1+z}{1-z}\right]}^{\mu /2}{}_2{F}_1(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;\frac{1-z}{2}),\text{for }|1-z|<2$

ahol $\mathrm{\Gamma }$ a gamma-függvény és ${}_2{F}_1$ a hipergeometrikus függvény.

A másodrendű differenciálegyenletnek van egy második megoldása, $Q_{\lambda }^{\mu }(z)$, :

$Q_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\mathrm{\Gamma }(\lambda +3/2)}\frac{e^{i\mu \pi }(z^2-1{)}^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}{}_2{F}_1(\frac{\lambda +\mu +1}{2},\frac{\lambda +\mu +2}{2};\lambda +\frac{3}{2};\frac{1}{z^2}),|z|>1.$

Integrálos ábrázolás

A Legendre-függvény felirható kontúr integrálokként is. Például:

$P_{\lambda }(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{1,z}{\int }\frac{(t^2-1{)}^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z{)}^{\lambda +1}}dt$

Ahol a kontúr körök az 1, és z pontok körül pozitív irányban, és nem a -1 körül értelmezendők. Valós x –re, kapjuk:

$P_s(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{(x+\sqrt{x^2-1}\cos \theta )}^{s}d\theta =\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(x+\sqrt{x^2-1}(2t-1))}^s\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}},s\in ℂ$

Legendre-függvény, a harmonikus analízisben

$P_s$ valós integrálos ábrázolása, igen hasznos a $L^1(G//K)$ harmonikus analízisében, ahol $G//K$, a $SL(2,ℝ)$ dupla coset-tere (lásd zónás gömb-függvény).

$L^1(G//K)$ Fourier-transzformáltja:

$L^1(G//K)\ni f\mapsto \hat{f}$

ahol

$\hat{f}(s)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)P_s(x)dx,-1\le \mathrm{\Re }(s)\le 0$

Irodalom

• Sablon:CitLib
• Sablon:CitLib

Kapcsolódó szócikkek

• http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015023896346
• http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendreQ2General/
• http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendrePGeneral/
• http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendreP2General/
• Legendre-polinomok
• Differenciálegyenlet
• Hipergeometrikus függvény
• Fourier-transzformáció