Kontinuitási egyenlet

Sablon:Nincs forrás A kontinuitási egyenlet minden alábbi példája ugyanazt a gondolatot fejezi ki. A kontinuitási egyenletek a megmaradási törvények (erősebb) lokális kifejezései.

Elektromágneses elmélet

Az elektrodinamikában a kontinuitási egyenlet két Maxwell-egyenletből vezethető le. Azt fejezi ki, hogy az áramsűrűség divergenciája egyenlő a töltéssűrűség változási sebességének mínusz egyszeresével:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Származtatás

Az egyik Maxwell-egyenlet szerint:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐣+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}.$

Mindkét oldal divergenciáját véve:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐇=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣+\frac{\partial \mathrm{\nabla }\cdot 𝐃}{\partial t}$,

de egy rotáció divergenciája nulla:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣+\frac{\partial \mathrm{\nabla }\cdot 𝐃}{\partial t}=0.(1)$

Egy másik Maxwell-egyenlet szerint:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho .$

Helyettesítsük ezt be az (1) egyenletbe:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0,$

ami a kontinuitási egyenlet.

Interpretáció

Az áramsűrűség a töltéssűrűség áramlása vagy az áram(erősség) sűrűsége. A kontinuitási egyenlet szerint ha töltés távozik egy infinitezimális térfogatból (azaz az áramsűrűség divergenciája pozitív), akkor a töltés mennyisége a térfogatban csökken. Ezért a kontinuitási egyenlet az elektromos töltésmegmaradás kifejezése.

Áramlástan

Az áramlástanban a kontinuitási egyenlet a tömegmegmaradás kifejezése. Differenciális alakban:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$

ahol $\rho$ a sűrűség, t az idő, és u a folyadéksebesség.

Kvantummechanika

A kvantummechanikában a valószínűség megmaradása szintén 'kontinuitási egyenlethez vezet. Legyen P(x, t) a valószínűségsűrűség, amivel:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=-\frac{\partial }{\partial t}P(x,t)$

ahol j a valószínűségi áram.

Források

• Budó Ágoston: Mechanika Tankönyvkiadó 1991 (317-321. oldal) Sablon:ISBN
• Modern fizikai kisenciklopédia Fényes Imre (szerkesztő) Gondolat könyvkiadó, (58. oldal) 1971
• Fizikai kézikönyv műszakiaknak Antal János (főszerkesztő) Műszaki könyvkiadó 1980 (I kötet 147. oldal) ISBN 963-10-3244-2
• Lev Davidovics Landau, Evgenij Mihajlovics Lifsic, Elméleti fizika VI. - Hidrodinamika, Typotex 2009 Sablon:ISBN

Kapcsolódó szócikkek

• Schrödinger-egyenlet
• Euler-egyenletek
• Valószínűségi áram