Kommutatív algebra

Emmy Noether, a kommutatív algebra úttörő kutatója által E. Fischernek írt, Noether kommutatív algerbai munkájáról szóló levelezőlap

A kommutatív algebra az algebra egy részterülete. Kommutatív gyűrűkkel és a felettük létező modulusokkal foglalkozik. Mind az algebrai számelmélet, mind az algebrai geometria alapvető módon épít a kommutatív algebra eredményeire. Utóbbiban a kommutatív algebra biztosítja az ún. sémák lokális vizsgálatának eszközeit.

Fontos és közismert példák kommutatív gyűrűre a következők: polinomgyűrűk, algebrai egészek gyűrűi a racionális számok testbővítéseiben – speciálisan ezek közé tartozik a racionális egész számok $\mathbb{Z}$ gyűrűje –, illetve a p-adikus egészek.Sablon:Refhely

Az algebrai számelméletben egy számtest (a racionális számok $\mathbb{Q}$ testének véges bővítése) algebrai egészeinek gyűrűje Dedekind-gyűrű. Ezek viselkedésének vizsgálata a kommutatív algebra fejlődésének egy fontos motiváló ereje. Emellett a kommutatív algebra számos fogalma megfeleltethető az algebrai geometriában megjelenő (gyakran általánosabb) fogalmaknak. Ez áll többek között a Krull-dimenzió, a primér felbontás, a reguláris gyűrűSablon:Refhely, a Cohen–Macaulay-gyűrűSablon:Refhely illetve a Gorenstein-gyűrűSablon:Refhely fogalmára.

A nem feltétlenül kommutatív gyűrűk vizsgálatával a nemkommutatív algebra foglalkozik. Ez magában foglalja a gyűrűelméletet, a reprezentációelméletet, és a Banach-algebrák elméletét.

Számelméleti vonatkozások

A kommutatív algebra által vizsgált objektumok először feltehetően a számelméletben jelentek meg.Sablon:Refhely Az alapvető felismerés abban állt, hogy ha $\mathbb{Z}$-t egy polinom gyökeivel bővítjük, a kapott bővítés hasonlóságokat mutat $\mathbb{Z}$-vel.

Ezeket a kutatásokat a nagy Fermat-sejtés is motiválta. A sejtés szerint az

$x^n+y^n=z^n$

egyenletnek nincs a racionális egész számok között $(x,y,z)=(0,0,0)$-tól különböző megoldása, ha $n\ge 3$. Az állítás könnyen redukálható arra az esetre, ha $n=p$ prímszám. Egy lehetséges útnak tűnt a bizonyítás felé az egyenlet bal oldalának faktorizálása: ha $\mathbb{Z}$ helyett $\mathbb{Z}[{\zeta }_p]$-ben dolgozunk, ahol ${\zeta }_n$ primitív $p$-edik egységgyök, akkor a bal oldal szorzattá bontható: $x^p+y^p=\prod _{i=0}^{p-1}(x+{\zeta }_p^{i}y)=z^p$. Így a bal és a jobb oldalon is egy $p$ tényezős szorzat szerepel. Ha most alkalmazhatnánk a számelmélet alaptételét $\mathbb{Z}[{\zeta }_p]$-ben, akkor mindkét oldalt prímelemek szorzatára bonthatnánk, ami ellentmondáshoz vezethetne. A probléma viszont az, hogy a $\mathbb{Z}[{\zeta }_p]$ gyűrű általában nem UFD, azaz nem igaz benne a számelmélet alaptétele.Sablon:Refhely

Ez a megközelítés vezetett az ideál fogalmának Dedekind általi bevezetéséhez. A név ideális, azaz nem valódi elemekre utal.Sablon:Refhely Az ideálok a gyűrűelemek általánosításainak tekinthetők annyiban, hogy minden gyűrűelem generál egy főideált; az alaptétel szempontjából ez nem vezet gondokhoz, hiszen a prímfelbontás amúgy is mindig csak egységek erejéig egyértelmű. Dedekind sikeresen meghatározta azokat a gyűrűket, amikben az ideálok egyértelműen felírhatók prímideálok szorzataként: ezek a Dedekind-gyűrűk.

Az ideálok bevezetése önmagában nem volt elegendő a Fermat-tétel bizonyításához. Ugyanakkor ezeken keresztül Kummer sikeresen igazolta a tételt reguláris prímekre, azaz olyan $p$-kre, amik nem osztják a $\mathbb{Q}({\zeta }_p)$ test osztályszámát.Sablon:Refhely (37, 59 és 67 kivételével minden 100 alatti prím reguláris.)

A gyűrűbővítések egy másik útját Kronecker alapozta meg: bevezette a polinomgyűrű fogalmát, és egy $K$ test feletti $f(X)$ polinom gyökeivel való bővítést $K[X]/(f(X))$ alakban értelmezett. Kronecker továbbá definiálta a Dedekind-féle ideálok megfelelőit ebben a felállásban. Egyértelmű prímfelbontás ugyan nem létezik ebben az esetben, viszont egy gyengébb formája fennáll: ez a Lasker által bizonyított primér felbontás.Sablon:Refhely

A két fent vázolt elméletet Noether helyezte közös alapokra, úttörő munkát végezve a kommutatív algebra modern megalapozásában.Sablon:Refhely

Főbb eszközök és eredmények

Konvenció: a továbbiakban gyűrű alatt kommutatív egységelemes gyűrűt értünk.

Noether-gyűrűk

Sablon:Fő A Noether-gyűrűk mind a kommutatív, mind a nemkommutatív gyűrűelméletben alapvető fontosságúak. Egy Noether-gyűrű olyan gyűrű, amiben ideálok bármely nemüres halmazának van maximális eleme. Ezzel ekvivalens, hogy a gyűrű teljesíti a maximumfeltételt ideálokra. Ez alatt azt értjük, hogy ideálok bármely

$I_1\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_k\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots$

lánca stabilizálódik, azaz létezik olyan n, hogy:

$I_n=I_{n+1}=\cdots$

Egy kommutatív gyűrű továbbá akkor és csak akkor Noether, ha minden ideál végesen generált.Sablon:Refhely

Lokalizáció

A lokalizáció az integritási tartományokra értelmezett hányadostest-fogalom általánosításának tekinthető. Heurisztikusan a lokalizálás során megengedjük a gyűrű bizonyos elemeivel való osztást, ez ugyanakkor a hányadostest-konstrukcióval szemben nem az összes nemzéró elem, hanem ezeknek csak egy részhalmaza lesz.

A formális definícióhoz először bevezetjük a multiplikatívan zárt részhalmaz fogalmát: ez az $R$ gyűrű egy olyan $S\subseteq R$ részhalmaza, ami tartalmazza a gyűrű egységelemét, és ha $s,s^{\prime }\in S$, akkor $s{s}^{\prime }\in S$.

Tekintsük a következő relációt az $R\times S$ halmazon: $(r,s)\sim (r^{\prime },s^{\prime })$ akkor és csak akkor, ha létezik olyan $t\in S$, hogy $t(s{r}^{\prime }-s^{\prime }r)=0$. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez ekvivalenciareláció. Az $R$ gyűrű $S$-nél vett $S^{-1}R$ lokalizáltja ekkor az erre a relációra nézve vett ekvivalenciaosztályok halmaza; a továbbiakban az $(r,s)$ elem osztályát $r/s$ jelöli. A lokalizálton az összeadást és a szorzást a következőképpen definiáljuk:

$\frac{r}{s}+\frac{r^{\prime }}{s^{\prime }}=\frac{r{s}^{\prime }+r^{\prime }s}{s{s}^{\prime }}$, $\frac{r}{s}\cdot \frac{r^{\prime }}{s^{\prime }}=\frac{r{r}^{\prime }}{s{s}^{\prime }}$.

A kapott gyűrűn a zéruselem így $0/1$, az egységelem $1/1$ lesz.

Jegyezzük meg, hogy a „nevezők” $S$ halmazában megengedjük a zéróosztókat. Ha $S$ tartalmaz egy zéróosztót, akkor $S^{-1}R=0$. Ha $S$ nullosztómentes, akkor akkor $R$ beágyazható a lokalizáltba az

$R\hookrightarrow S^{-1}R,r\mapsto \frac{r}{1}$

leképezéssel.

Ha $S$ az $R$ összes nemnullosztójából áll, akkor a lokalizáltat az $R$ teljes hányadosgyűrűjének nevezzük.Sablon:Refhely

Fontos speciális eset, amikor $S=R-𝔭$ egy $𝔭$ prímideál komplementere. Ekkor a prímideál definíciója révén multiplikatív halmazt kapunk. Ilyenkor a lokalizált szokásos jelölése $S^{-1}R=R_{𝔭}$.

A lokalizáció fogalma kiterjed a gyűrű fölötti modulusokra is: ha $M$ egy $R$-modulus, akkor analóg módon definiálható az $S^{-1}M$ $S^{-1}R$-modulus.Sablon:Refhely

A lokalizáció néhány fontos tulajdonsága:

• A lokalizáció rendelkezik a következő univerzális tulajdonsággal: bármely $R$-en értelmezett gyűrűhomomorfizmus, amely $S$ elemeit egységekbe viszi, keresztülfaktorizál az $S^{-1}R$ lokalizálton.Sablon:Refhely
• A lokalizáció egzakt funktor.Sablon:Refhely
• A lokalizáció tartja a faktorstruktúrát.Sablon:Refhely
• A lokalizált ideáljai az eredeti gyűrű ideáljainak lokalizáltjai.Sablon:Refhely

Az elnevezés az algebrai geometriával kapcsolatos; itt a lokális gyűrűk algebrai varietások egy adott pontnál vett, azaz helyi (lokális) vizsgálatakor kerülnek elő.

Hilbert bázistétele

Hilbert bázistétele szerint ha $R$ Noether-gyűrű, akkor az $R$ feletti egyváltozós polinomok $R[X]$ gyűrűje is Noether-gyűrű. A tételből indukció útján következik, hogy ha $R$ Noether-gyűrű, akkor $R[X_1,\dots ,X_n]$ is az.

A tétel azon speciális esetét, amikor az alapgyűrű test, David Hilbert bizonyította először.Sablon:Refhely Az elnevezésben a bázis szó az ideálok végesen generáltságára utal, ami ekvivalens a Noether-tulajdonsággal.

A bázistétel következménye, hogy Noether-gyűrű felett végesen generált algebra maga is Noether-gyűrű.Sablon:Refhely

A tétel szerepe az algebrai geometriában a következő. Legyen $k$ egy test, legyen adott $k$ feletti $n$-változós polinomok egy

$\{p_i(X_1,\dots ,X_n):i\in I\}\subseteq k[X_1,\dots ,X_n]$

halmaza, és tekintsük $k^n$ azon $V$ részhalmazát, amelyen valamennyi $p_i$ eltűnik, azaz

$V=\{(x_1,\dots ,x_n)\in k^n:p_i(x_1,\dots ,x_n)=0\mathrm{\forall }i\in I\}$.

Ekkor $I$-nek van olyan véges $I^{\prime }$ részhalmaza, hogy

$V=\{(x_1,\dots ,x_n)\in k^n:p(x_1,\dots ,x_n)=0\mathrm{\forall }i\in I^{\prime }\}$,

azaz $V$ előáll csupán véges sok polinom közös zérushelyeként is. Ez a klasszikus algebrai geometria szempontjából azt jelenti, hogy bármely $k$ feletti algebrai varietást leírható véges sok polinom közös zérushelyeként.

Zariski-topológia

Legyen $R$ egy gyűrű (a szakasz eleji konvenció továbbra is érvényben van). Ekkor az $R$ spektruma alatt a prímideálok halmazát értjük, és ezt $\mathrm{Spec}R$-rel jelöljük. Ha $I\subseteq R$ egy részhalmaz (nem feltétlenül ideál), akkor legyen

$\mathrm{V}(I)=\{𝔭\in \mathrm{Spec}R:I\subseteq 𝔭\}$.

Tekintsük ezeket a halmazokat az összes $I\subseteq R$ részhalmazra, és definiáljuk a spektrumon a Zariski-topológiát mint azt a topológiát, amiben pontosan ezek a $\mathrm{V}(I)$ halmazok a zárt részhalmazok.Sablon:Refhely Ekkor $\mathrm{Spec}$ egy kontravariáns funktor a gyűrűk kategóriájából a topologikus terek kategóriájába.Sablon:Refhely Az így definiált $\mathrm{Spec}R$ topologikus teret az algebrai geometriában affin sémának nevezik.

A klasszikus algebrai geometriában a Zariski-topológia fogalma egy másik értelemben is használatos. Legyen $k$ egy test, és legyen $I\subseteq k[X_1,\dots ,X_n]$ $n$-változós polinomok egy halmaza (nem feltétlenül ideál a polinomgyűrűben). Ekkor a $k^n$ affin téren a Zariski-topológia zárt halmazai pontosan a

$V(I)=\{(x_1,\dots ,x_n)\in k^n:\mathrm{\forall }f\in I:f(x_1,\dots ,x_n)=0\}$, $I\subseteq R$

halmazok, azaz azon pontok halmazai, amik valamely $I\subseteq R$ részhalmazban elemeinek közös zérushelyeiként állnak elő.

A modern algebrai geometria számára az előbbi, a spektrumon alapuló megközelítés az alapvető; a gyűrűk spektrumaként előálló affin sémák a sémaelmélet alapkövei, az általános sémákat az affin sémák ún. összeragasztásával kapjuk. A fenti $k^n$ $n$-dimenziós affin tér megfelelője ekkor a $\mathrm{Spec}R[X_1,\dots ,X_n]$ spektrum. A Hilbert-féle gyenge Nullstellensatz szerint a két fogalom egybeesik, ha $k$ algebrailag zárt test (azaz nincsen nemtriviális algebrai bővítése) és $R=k[X_1,\dots ,X_n]$.

Az algebrai geometriai megközelítésben tehát a topológiai pontok szerepét a prímidálok veszik át, a fenti $\mathrm{V}$ és $V$ operátorok közti kapcsolat alapján pedig gondolhatunk a gyűrű elemeire mint függvényekre.Sablon:Refhely

Nullstellensatz

Nullstellensatz név alatt több különböző, egymással összefüggő tételt lehet érteni, és a szakirodalomban a megnevezések nem teljesen egységesek. A következőkben az affin Nullstellensatz bizonyos variánsairól lesz szó; emellett az algebrai geometriában létezik még projektív illetve analitikus Nullstellensatz is. A Nullstellensatz szó németül zérushelytételt jelent.

Gyenge Nullstellensatz: Legyen $k$ algebrailag zárt test. Ekkor a $k[X_1,\dots ,X_n]$ gyűrű maximális ideáljai pontosan az $(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)$ alakú ideálok, ahol $a_1,\dots ,a_n\in k$.Sablon:Refhely

Nullstellensatz vagy Zariski-lemma: Ha $k$ egy test, akkor $k[X_1,\dots ,X_n]$ bármely maximális ideáljának maradékteste véges bővítése $k$-nak.Sablon:Refhely

Egy másik, szintén Nullstellensatznak nevezett tétel tartalmazásfordító bijektív (Galois-)kapcsolatot ír le az affin tér algebrai részhalmazai és a polinomgyűrű radikálideáljai között. Ennek leírásához először vezessük be az $\mathrm{I}$ operátort: legyen $R$ gyűrű, $S\subseteq \mathrm{Spec}(R)$ egy részhalmaz. Ekkor

$\mathrm{I}(S)=\bigcap _{𝔭\in S}𝔭$

Intuitíve az $\mathrm{I}(S)$ halmaz az $S$-en eltűnő függvények halmazának felel meg. Könnyen ellenőrizhető, hogy $I(S)\subseteq R$ egy ideál, $\mathrm{I}$ rendezésváltó, és $\mathrm{I}(S)=\mathrm{I}(\bar{S})$, ahol $\bar{S}$ az $S$ lezártját jelöli a Zariski-topológiában.Sablon:Refhely

Szükségünk lesz még a radikál fogalmára. Legyen $J\subseteq R$ egy ideál; ekkor $J$ radikálja azon gyűrűelemekből áll, amelynek valamely hatványa $J$-ben van.

$\sqrt{J}=\{r\in R:\mathrm{\exists }n\ge 0,r^n\in J\}$

Nyilvánvaló, hogy $J\subseteq \sqrt{J}$. Egy $J$ ideált radikálideálnak nevezünk, ha $J=\sqrt{J}$.

Nullstellensatz: a $\mathrm{V}$ és $\mathrm{I}$ operátorok tartalmazásfordító bijekciót adnak meg a spektrum zárt részhalmazai és a gyűrű radikálideáljai között. Speciálisan $\mathrm{V}(\mathrm{I}(S))=\bar{S}$, $\mathrm{I}(\mathrm{V}(J))=\sqrt{J}$.Sablon:Refhely

Krull-dimenzió

A dimenzióelmélet a kommutatív algebra azon részterülete, ami gyűrűk (és modulusok) dimenziófogalmaival foglalkozik. Több különböző dimenziófogalom is létezik, és ezek általában nem esnek egybe.

A Krull-dimenziót a következőképpen definiáljuk. Legyen $𝔭$ az $R$ gyűrű egy prímideálja. Ekkor a $𝔭$ magassága a

$0={𝔭}_0⊊{𝔭}_1⊊\dots {𝔭}_n=𝔭$

láncok $n$ hosszának szuprémuma, ahol ${𝔭}_0,\dots ,{𝔭}_n$ prímideálok. Az $R$ gyűrű Krull-dimenziója a prímideáljainak magasságainak szuprémuma:

$\dim R=\sup \{\mathrm{ht}(𝔭):𝔭\in \mathrm{SpecR}\}$,

ahol Sablon:Math az Sablon:Math spektruma, azaz a prímideálok halmaza. Mivel minden maximális ideál prím, ez megegyezik a maximális ideálok magasságainak szuprémumával. A definíció egyenes következménye, hogy egy prímideál magassága egyenlő a nála vett lokalizáció dimenziójával:

$\mathrm{ht}(𝔭)=\dim R_{𝔭}$.Sablon:Refhely

Hasonló módon definiálható egy topologikus tér Krull-dimenziója is, ekkor prímideálok helyett irreducibilis zárt halmazok láncaival dolgozunk.Sablon:Refhely Ez adja a kapcsolatot az algebrai geometria dimenziófogalma felé: egy gyűrű spektrumán a Zariski-topológiára nézve vett topologikus Krull-dimenzió megegyezik a gyűrű fent definiált algebrai Krull-dimenziójával.

A Noether-gyűrűk viszonylag jól viselkednek a Krull-dimenzióra nézve: ennek alapját Krull főideáltétele és ennek következménye, Krull magasságtétele jelentik.

Sablon:Vhorgony a következőt állítja: legyen $R$ Noether-gyűrű, $r\in R$ a gyűrű egy eleme, és legyen $r\in 𝔭\subset R$ egy tartalmazásra nézve minimális prímideál. Ekkor $\mathrm{ht}(𝔭)\le 1$. Más szavakkal, egy főideál feletti minimális prímideál legfeljebb egy magasságú.

Sablon:Vhorgony a főideáltétel induktív következménye, és egyben annak általánosítása nem főideálokra. Legyen $R$ Noether-gyűrű, legyenek $r_1,\dots ,r_n\in R$, és legyen $𝔭$ egy ezeket tartalmazó minimális prímideál. Ekkor a tétel szerint $\mathrm{ht}(𝔭)\le n$.

Mivel Noether-gyűrűben minden ideál végesen generált, a magasságtételből következik, hogy minden prímideál magassága véges. Az ugyanakkor lehetséges, hogy ezek a magasságok nem korlátosak, és így a gyűrű Krull-dimenziója végtelen; erre először Nagata adott példát.Sablon:Refhely

Primér felbontás

Noether-gyűrűkben minden ideál felírható bizonyos speciális ideálok – az ún. primér ideálok – metszeteként.

Legyen $I\subseteq R$ egy ideál. Ekkor az $I$ radikálja

$\sqrt{I}=\{r\in R:\mathrm{\exists }n\ge 0:r^n\in I\}$,

azaz azon gyűrűelemek halmaza, amiknek valamely hatványa $I$-ben van. Könnyen ellenőrizhető, hogy $\sqrt{I}\supseteq I$, és $\sqrt{I}$ ideál $R$-ben.

Egy $I\subseteq R$ ideált primér ideálnak nevezünk, ha teljesül a következő:

ha $a,b\in R$ és $ab\in R$, akkor $a\in I$ vagy $b\in \sqrt{I}$.

Ez a prímideál definíciójának gyengítése, következésképpen minden prímideál primér. Ennek a részleges megfordítása is igaz: ha $I$ primér, akkor $\sqrt{I}$ prímideál.Sablon:Refhely Noether-gyűrűben a metszetirreducibilis ideálok (azon ideálok, amik nem állnak elő két nagyobb ideál metszeteként), primér ideálok.Sablon:Refhely Ez azt sugallja, hogy a primér ideálok alkalmasak lehetnek arra, hogy a gyűrű ideáljainak metszetként való előállításának alkotóköveiként szolgáljanak.

Legyen $I\subseteq R$ egy ideál, és tegyük fel, hogy $I$ előáll véges sok primér ideál, mondjuk $Q_1,\dots ,Q_m$ metszeteként:

$I=\bigcap _{i=1}^m{Q}_i$.

Egy ilyen felírást irredundáns felbontásnak nevezünk, ha a metszetből semelyik $Q_i$ nem hagyható el, és $\sqrt{Q_i}\ne \sqrt{Q_j}$, ha $i\ne j$.

A Lasker–Noether-tétel szerint egy $R$ Noether-gyűrű bármely $I$ ideáljának van irredundáns felbontása primér ideálok metszeteként, továbbá $m$ értéke illetve a $\{\sqrt{Q_i}:1\le i\le n\}$ halmaz minden ilyen felbontásnál azonos.Sablon:Refhely

Az algebrai geometria szempontjából a tétel a következő módon írható le. Legyen $R=k[X_1,\dots ,X_n]$ a $k$ test feletti $n$ változós polinomok gyűrűje. Ekkor $R$ Noether-gyűrű Hilbert bázistétele értelmében. Legyen $I\subseteq R$ egy ideál, és tekintsük az $I$-beli polinomok közös zérushelyeit $k^n$-ben:

$V(I)=\{(x_1,\dots ,x_n)\in k^n:\mathrm{\forall }f\in I:f(x_1,\dots ,x_n)=0\}$.

A $k^n$ ilyen módon előálló részhalmazait affin algebrai halmazoknak nevezzük. Legyen $I=\bigcap _{i=1}^m{Q}_i$ egy irredundáns primér felbontás; ekkor $V(I)$ felbomlik a $V(Q_i)$ affin algebrai halmazok uniójára:

$V(I)=\bigcap _{i=1}^{m}V(Q_i)$.

A $V(Q_i)$ halmazok irreducibilisek a Zariski-topológiában, azaz nem írhatók fel affin algebrai halmazok nemtriviális uniójaként.

Lásd még

• Homologikus algebra
• K-elmélet

Források

• Sablon:Hely Sablon:CitLib
• Sablon:Hely Sablon:CitLib
• Sablon:Hely Sablon:CitLib
• Sablon:Hely Sablon:Citation
• Sablon:Hely Sablon:Pelikán
• Sablon:Hely Sablon:CitWeb
• Sablon:Hely Sablon:CitLib
• Sablon:Hely Sablon:CitLib

Fordítás

• Sablon:Fordítás
• Sablon:Fordítás