Kezdeti σ-algebra

A kezdeti σ-algebra a matematikában a mértékelmélet egy fogalma. Arra használják, hogy σ-algebrát hozzanak létre olyan tereken, amelyeken eredetileg nem volt struktúra. Speciális esetei a nyom-σ-algebra és a szorzat-σ-algebra. Szorosan összetartozik a kezdeti topológiával. Ez a legnagyobb σ-algebra, ahol függvények egy halmaza mérhető. Nevezik úgy is, mint függvények által generált σ-algebra, így a valószínűségi változók által generált σ-algebrák is kezdeti σ-algebrák. A generált algebra megnevezés nem egyértelmű, mivel halmazrendszerekkel is generálható σ-algebra.

Definíció

Adva legyenek az $f_i:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}_i$ leképezések, és mértékterek egy $({\mathrm{\Omega }}_i,{𝒜}_i)$ családja egy nemüres $I$ indexhalmazzal. Ekkor az

$ℐ(f_i,i\in I):=\sigma (\bigcup _{i\in I}{f}_i^{-1}({𝒜}_i))$

σ-algebra $\mathrm{\Omega }$-n az $(f_i{)}_{i\in I}$ leképezések kezdeti σ-algebrája, vagy az $(f_i{)}_{i\in I}$ által generált σ-algebra.

Példák

• Legyen $f:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ leképezés, ahol $({\mathrm{\Omega }}^{\prime },{𝒜}^{\prime })$ mértéktér, ekkor $f^{-1}({𝒜}^{\prime })$ σ-algebra, és $ℐ(f)=f^{-1}({𝒜}^{\prime })$. Ha például $f$ konstans függvény, akkor $ℐ(f)$ az $\{\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}$ triviális σ-algebra. Az $A\subset \mathrm{\Omega }$ részhalmaz ${\chi }_A$ indikátorfüggvénye esetén $ℐ({\chi }_A)=\{\mathrm{\varnothing },A,A^{𝖼},\mathrm{\Omega }\}$.
• $X\subset Y$ és $(Y,𝒜)$ mértéktér, ahol $i:X\to Y,i(x)=x$ a természetes beágyazás, akkor a kezdeti σ-algebra éppen a nyom σ-Algebra: $ℐ(i)=𝒜{|}_X$.
• $\mathrm{\Omega }=\prod _{i\in I}{\mathrm{\Omega }}_i$ az ${\mathrm{\Omega }}_i$ halmazok Descartes-szorzata egy nemüres $I$ indexhalmazzal és $({\mathrm{\Omega }}_i,{𝒜}_i)$ mértéktér. Legyenek az ${\pi }_i:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}_i,{\pi }_i(\omega )={\omega }_i$ leképezések vetületek az $i$-edik komponensre, ekkor a vetületek kezdeti σ-algebrája éppen a ${𝒜}_i$ szorzat σ-algebrája :

$ℐ({\pi }_i,i\in I)=\underset{i\in I}{⨂}{𝒜}_i$.

Tulajdonságok

• A kezdeti σ-algebra definíció szerint a legkisebb σ-algebra $\mathrm{\Omega }$-n, amire az $(f_i{)}_{i\in I}$ függvények mérhetők.
• Ha ${ℰ}_i$ az ${𝒜}_i$ halmazok generátorai, akkor $\bigcup _{i\in I}{f}_i^{-1}({ℰ}_i)$ az $ℐ(f_i,i\in I)$ generátora.

Alkalmazása

Kezdeti σ-algebrákat használnak például a valószínűségszámításban a valószínűségi változók függetlenségének definiálására. Két valószínűségi változó független, ha kezdeti σ-algebráik független halmazrendszerek.

Források

• Sablon:Cite book

Fordítás

• Sablon:Fordítás