Független halmazrendszerek

A valószínűségszámításban a halmazrendszerek függetlensége az események függetlenségének általánosítása, és segíti a valószínűségi változók függetlenségének definiálását. Emiatt a független halmazrendszerek a valószínűségszámítás alapfogalmai közé tartoznak, és fontos tételek feltételei is tartalmazzák.

Definíció

Adva legyen az $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi tér, vagyis egy $𝒜\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ σ-algebra az $\mathrm{\Omega }$ alaphalmazon, és egy $P:𝒜\to [0;1]$ valószínűségi mérték. Legyen a továbbiakban $I$ tetszőleges indexhalmaz és minden $i\in I$ indexhez tartozzon egy ${ℰ}_i\subseteq 𝒜$ adott halmazrendszer.

Az $({ℰ}_i{)}_{i\in I}$ halmazrendszerek függetlenek, ha $J\subset I$ minden véges $(E_j{)}_{j\in J}$ részhalmazára az $\mathrm{\forall }j\in J:E_j\in {ℰ}_j$ események függetlenek, vagyis

$P\left(\bigcap _{j\in J}{E}_j\right)=\prod _{j\in J}P(E_j)$.

Példák

Legyen ${ℰ}_1=\{A\}$ és ${ℰ}_2=\{B\}$, ekkor a halmazrendszerek függetlenek, ha az $A$ és $B$ események függetlenek. Ekkor $I=\{1,2\}$, elég csak az $J=\{1\},J=\{2\}$ és $J=I=\{1,2\}$ eseteket vizsgálni. Az $J=\mathrm{\varnothing }$ eset triviális.

1. Ha $J=\{1\}$, akkor $E_1=A$ esetén mindig $P\left(\bigcap _{j\in \{1\}}{E}_j\right)=P(A)=\prod _{j\in \{1\}}P(E_j)$, mivel a halmazrendszer egyelemű. Tehát a kijelentés mindig igaz. Hasonlóan következik $J=\{2\}$.
2. Ha $J=I=\{1,2\}$, akkor a halmazrendszerek egyeleműsége miatt ($E_1=A,E_2=B$)

$P(E_1\cap E_2)=P(A\cap B)=P(A)P(B)=P(E_1)P(E_2)$

az $A$ és $B$ események függetlensége miatt.

Általában, ha $(A_i{)}_{i\in I}$ események egy családja és halmazrendszerek egy családját úgy definiáljuk, hogy minden $i\in I$-hez egy egyelemű ${ℰ}_i=\{A_i\}$ halmazrendszer tartozik, akkor a halmazrendszerek családja független, ha az események családja független. Ezt az ekvivalenciát használják események függetlenségének bizonyítására.

Egy $𝒪$ σ-algebra egy valószínűségi mezőn P-triviális, ha minden $A\in 𝒪$ esetén vagy $P(A)=0$ vagy $P(A)=1$. A P-triviális σ-algebrák minden halmazrendszertől függetlenek. Ekkor $A\in 𝒪$ és $P(A)=0$, így $P(A\cap B)=0=P(A)\cdot P(B)$ egy másik $ℳ$ halmazrendszer tetszőleges $B$ elemére. Ugyanígy $P(A\cap B)=1\cdot P(B)$ is teljesül, ha $P(A)=1$. Tehát $𝒪$ és $ℳ$ független.

Tulajdonságai

Ha $(I_k{)}_{k\in K}$ az $I$ diszjunkt felosztása (vagyis $I_{k^{\prime }}\cap I_{k^{*}}=\mathrm{\varnothing }$ minden $k^{\prime },k^{*}\in K,k^{\prime }\ne k^{*}$ esetén, és $\bigcup _{k\in K}{I}_k=I$) és az $({ℰ}_i{)}_{i\in I}$ halmazrendszerek családjai függetlenek, akkor az

${\left(\bigcup _{i\in I_k}{ℰ}_i\right)}_{k\in K}$

halmazrendszerek családja is független.

Véges $I$ esetén: Ha minden halmazrendszer tartalmazza az $\mathrm{\Omega }$ alaphalmazt, akkor éppen akkor függetlenek, ha

$P\left(\bigcap _{i\in I}{E}_i\right)=\prod _{i\in I}P(E_j)$

minden $E_i\in {ℰ}_i$ esetén. Ekkor elegendő a definiáló egyenlőséget csak a teljes indexhalmazra vizsgálni. A $J\subset I$ esetekben az egyenlőség automatikusan következik, $i\in I\setminus J$ esetén $E_i=\mathrm{\Omega }$ választással.

Ha minden $i\in I$-re az ${ℰ}_i\cup \{\mathrm{\varnothing }\}$ halmazrendszer metszetstabil, akkor $({ℰ}_i{)}_{i\in I}$ pontosan akkor független, ha a generált $(\sigma ({ℰ}_i){)}_{i\in I}$ σ-algebrák függetlenek.

Alkalmazása

A független halmazrendszereket arra használják, hogy a függetlenséget átvigyék véletlen változókra. Legyen $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi tér, és $({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒜}_1),({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒜}_2)$ mértékterek. Adva legyen továbbá $X_1,X_2$ $\mathrm{\Omega }$-ból ${\mathrm{\Omega }}_1$-be illetve ${\mathrm{\Omega }}_2$-be. Ha a véletlen valószínűségi változók által generált kezdeti σ-algebrák független halmazrendszerek, akkor a valószínűségi változók is függetlenek. Ez általánosítható valószínűségi változók családjára is.

Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége

A feltételes várható értékhez kapcsolódóan szó lehet valószínűségi változó és halmazrendszer függetlenségéről. Legyen $X$ valószínűségi változó, $ℰ$ halmazrendszer. Ezek akkor függetlenek, ha $ℰ$ és $\sigma (X)$ kezdeti σ-algebrája független a fenti értelemben.

Általánosítása

A σ-algebrák függetlensége a feltételes várható érték segítségével kiterjeszthető feltételes függetlenséggé. Ez szintén átvihető valószínűségi változókra.

Források

• Sablon:Cite book