Karakterisztikus függvény

A matematikában a karakterisztikus függvény (vagy ritkábban: indikátorfüggvény) olyan függvény, amely azt jelzi, hogy értelmezési tartományának pontjai elemei-e egy halmaznak.

A fogalom fontos szerepet játszik a matematikai analízisben, a mértékelméletben és a kombinatorikában.

A valószínűségszámításban szerepet játszik egy másik, szintén karakterisztikus függvénynek nevezett fogalom, amelynek az itt taglaltakhoz nincs köze.

Definíció

Legyen az A halmaz az X alaphalmaz egy részhalmaza. Ekkor A karakterisztikus függvényének nevezzük az X halmaz felett azt a

${𝝌}_A:X\to \{0,1\}$

függvényt, amelyre

${𝝌}_A(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{ha}x\in A,\\ 0,& \text{ha}x\notin A.\end{array}$

Alapvető tulajdonságok

A fenti jelölésekkel

${𝝌}_X=\mathrm{𝟏}$

és

${𝝌}_{\mathrm{\varnothing }}=\mathrm{𝟎}$,

ahol $\mathrm{𝟎}$ jelöli az azonosan 0 függvényt, és $\mathrm{𝟏}$ jelöli az azonosan 1 függvényt.

Legyen $A$ és $B$ az $X$ két részhalmaza. Akkor

${𝝌}_{A\cap B}=\min \{{𝝌}_A,{𝝌}_B\}={𝝌}_A\cdot {𝝌}_B,$

${𝝌}_{A\cup B}=\max \{{𝝌}_A,{𝝌}_B\}={𝝌}_A+{𝝌}_B-{𝝌}_A\cdot {𝝌}_B.$

Példák

• A szignumfüggvény abszolút értéke a nemnulla valós számok karakterisztikus függvénye;
• A H₁(x) módosított Heaviside-függvény a nemnegatív valós számok karakterisztikus függvénye;
• A magyar szakirodalomban Dirichlet-függvényként ismert leképezés a racionális számok halmazának karakterisztikus függvénye a valós számok felett;

Források

• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) Sablon:ISBN