Jacobi-polinomok

A Jacobi-polinomok a $[- 1, 1]$ intervallumon értelmezett ortogonális polinomok két paraméteres serege. Súlyfüggvényük $(1 - z)^{α} (1 + z)^{β}$ , ahol α, β > -1. A Jacobi-differenciálegyenlet megoldásai. Carl Gustav Jacob Jacobiról nevezték el őket.

Explicit alak

A Jacobi-polinomok explicit alakja:

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + n + 1)}{n! Γ (α + β + n + 1)} \sum_{m = 0}^{n} (\binom{n}{m}) \frac{Γ (α + β + n + m + 1)}{Γ (α + m + 1)} {(\frac{z - 1}{2})}^{m},

vagy az ₂F₁ hipergeometrikus függvény segítségével

P_{n}^{(α, β)} (z) = (\binom{n + α}{n})_{2} F_{1} (- n, 1 + n + α + β; α + 1; \frac{1 - z}{2}) .

Az 1 helyettesítési értéke

P_{n}^{(α, β)} (1) = (\binom{n + α}{n})

.

Szimmetria: páros n-re páros, páratlan n-re páratlan függvények:

P_{n}^{(α, β)} (- z) = (- 1)^{n} P_{n}^{(β, α)} (z)

így a ‒1 helyettesítési értéke

P_{n}^{(α, β)} (- 1) = (- 1)^{n} (\binom{n + β}{n}) .

A Jacobi-polinomok $k$ -adik deriváltja

\frac{d^{k}}{d z^{k}} P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + β + n + 1 + k)}{2^{k} Γ (α + β + n + 1)} P_{n - k}^{(α + k, β + k)} (z) .

Néhány fontos polinom a Jacobi-polinomok speciális esetének tekinthető: