Integrálszinusz

A kardinálszinusz (kékkel) és integrálja, az integrálszinusz (pirossal).

A matematikai analízisben az integrálszinusz függvény az úgynevezett kardinálszinusz függvény 0-ban eltűnő integrálfüggvénye, azaz a

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin (t)}{t}\mathrm{d}t$

függvény. Neve a latin sinus integralis kifejezésből származik. Joseph Liouville hozta fel példaként arra, hogy léteznek olyan függvények, melyeknek integrálja nem fejezhető ki zárt alakban, illetve a

$f^{\prime }(x)=\frac{\sin (x)}{x}$

differenciálegyenlet nem integrálható kvadratúrával.

Előállítása végtelen sor formájában

Ugyan az integrálszinusz nem fejezhető ki zárt alakban, azonban függvénysorként igen. Az integrálszinusz a 0 pont körül Taylor-sorba fejthető, és a 0-beli Taylor-sora előállítja a függvényt, így analitikus függvény. A sor konvergensen kiterjeszthető komplex számok körében, ami a komplex integrálszinuszt adja:

$\mathrm{S}\mathrm{i}(z)=z-\frac{z^3}{3\cdot 3!}+\frac{z^5}{5\cdot 5!}-\frac{z^7}{7\cdot 7!}+-\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!\cdot (2k+1)}{z}^{2k+1}$

Ez annak a következménye, hogy kardinálszinusz egyenletesen konvergens sorösszeggel állítható elő:

$\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{x}\sin (x)=\frac{1}{x}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n}$

A sor x = 0-ban is konvergens, és összege 1, így egyenletesen konvergens, ezért a sorok integrálására vonatkozó tétel szerint:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{t}^{2n}\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{t}^{2n}\mathrm{d}t=$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$

Előállítása homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásaként

A függvény másik lehetséges definiálási módja, hogy az

$x{f}^{‴}(x)+2f^{″}(x)+x{f}^{\prime }(x)=0$

közönséges, harmadrendű, függvényegyütthatós, homogén lineáris differenciálegyenlet (egy) megoldása.

További tulajdonságok

A szinusz integrálisz határértéke a végtelenben:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=\frac{\pi }{2}$

s mivel páratlan függvény, ezért

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=-\frac{\pi }{2}$

illetve:

$[\mathrm{s}\mathrm{i}{]}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (t)}{t}\mathrm{d}t=\pi$