Indexszám

Az indexszám vagy egyszerűen index a gazdaságban és a pénzügyi szektorban reprezentatív adatok változásának statisztikai mérését szolgálja. Egyszerűen megfogalmazva az indexszámok statisztikai sort jelentenek, számokat, melyek egy bázisra (100%) vonatkoztatva százalékokban térnek el. Indexszámok tetszőleges forrásból képezhetők (árindex, munkanélküliségi index, gazdasági index, termelékenységi index, részvényindex stb.). A különböző gazdasági indexek a gazdasági élet állapotáról adnak jelzéseket, a pénzügyi (tőzsde) indexek a tőzsdei vállalatok teljesítményének a mérőszámai.

Fajtái

Az egyszerű indexszám egy változó érték relatív változásait írja le.

A kompozit (összetett) indexszám lehetővé teszi, hogy több változó értékéből meghatározott szituációban képezett adathalmazt egy szám segítségével hasonlítsunk valamilyen referenciaszituációhoz. Ilyen például az úgynevezett fogyasztói kosár.

Története

Indexszámot a 18. században kezdtek számolni:

Angliában William Fleetwood 1707-ben tette fel a kérdést, hogy mennyit érhetett 1700-ban az általa igazgatott kollégium alapításakor adományozott 5 font számolásához 4 alapvető termék (búza, hús, sör, és vászon) árát hasonlította össze. Számításai eredményeképpen arra a következtetésre jutott, hogy az alapítók eredeti 5 fontos adománya 1700-ban 30 fontnak felelt meg.

Franciaországban 1738-ban Dutot hasonlította össze XII. és XV. Lajos francia király éves jövedelmét. Fleetwoodhoz hasonlóan alapvető termékek árát hasonlította össze, de az kiegészítette bérjellegű adatokkal például a napszámosok egy napi bérével.

Joseph Lowe-ot tekintik az első „valódi” index megteremtőjének. 1823-ban „Anglia helyzete” (The present state of England) című művében írt le egy olyan képletet, amit a mai napig is használnak. Az indexeléshez a két vizsgált időpont árait és az első dátum időpontjában mért értéket (vásárlói kosarat) $q_0$ használta fel képletében.

$P_L=\frac{\sum (p_t\cdot q_0)}{\sum (p_0\cdot q_0)}$.

A 19. században a német statisztikusok, Étienne Laspeyres (1871) és Hermann Paasche (1874) ma is használatos képleteket dolgoztak ki, és elméleti kutatásokat végeztek az indexelés területén.

A 20. században folytatódott az indexelési eljárások elméleti kutatása. Legnagyobb jelentőséggel a finn közgazdász Törnqvist által 1970-es években kidolgozott indexszámítási eljárás bír. Ez, mint mondani szokták kielégíti a common sense requirements-t (a józan ész követelményeit).

Axiomatikus indexelési eljárások

Dutot-index

$P_D=\frac{\frac{1}{n}\cdot \sum (p_t)}{\frac{1}{n}\cdot \sum (p_0)}=\frac{\sum (p_t)}{\sum (p_0)}$

Elemi vagy más néven súlyozatlan árindex. Javak homogén csoportjain mért átlagárak hányadosa a t és 0 időperiódusokban. A Dutot-index a csoportok számtani középértékével számol.

Jevons-index

$P_J=\prod {\left(\frac{p_t}{p_0}\right)}^{1/n}$

Elemi vagy más néven súlyozatlan árindex. Javak homogén csoportjain mért átlagárak hányadosa a t és 0 időperiódusokban. A Jevons-index a csoportok mértani középértékével számol.

Laspeyres-index

$P_L=\frac{\sum (p_t\cdot q_0)}{\sum (p_0\cdot q_0)}$.

Bázisidőszaki súlyozású árindex. A jószágok eredeti mennyiségének az árát $q_0$ arányosítja az eredeti és az új árral.

Paasche-index

$P_P=\frac{\sum (p_n\cdot q_n)}{\sum (p_0\cdot q_n)}$

Tárgyidőszaki súlyozású volumenindex. A jószágok új mennyiségének az árát $q_n$ arányosítja az eredeti és az új árral.

Fisher-index

$P_F=\sqrt{P_P\cdot P_L}$.

A Irving Fisher "ideális" árindexe a $P_P$ and $P_L$: mértani közepe, ahol $P_L$ a Laspeyres-index és $P_P$ a Paasche-index.

Törnqvist-index

$\frac{P_t}{P_{t-1}}=\prod _{i=1}^n{\left(\frac{p_{it}}{p_{i,t-1}}\right)}^{\frac{1}{2}[\frac{p_{i,t-1}{q}_{i,t-1}}{\sum _{j=1}^n\left(p_{j,t-1}{q}_{j,t-1}\right)}+\frac{p_{i,t}{q}_{i,t}}{\sum _{j=1}^n\left(p_{j,t}{q}_{j,t}\right)}]}$

Mind a két oldal logaritmusát véve kapjuk a következő kényelmesebben számítható logaritmikus formáját a Törnqvist-indexnek:

$ln\frac{P_t}{P_{t-1}}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(\frac{p_{i,t-1}{q}_{i,t-1}}{p_{t-1}{q}_{t-1}}+\frac{p_{i,t}{q}_{i,t}}{p_t{q}_t})ln\left(\frac{p_{i,t}}{p_{i,t-1}}\right)$

Az index kiszámítására minden termékre a $(t-1,t)$ időszakok i szerint $(i=1,...,n)$ indexelt mennyiségeit és árait használjuk. Az i. termék ára $t-1$ időpontban $p_{i,t-1}$.

A $q_{i,t}$ analóg módon az i. termék t időpontban mért mennyisége.

A Törnqvist-index, két időszak súlyozatlan átlagrészesedéseivel súlyozott mértani átlag. Eredeti formájában a Törnqvist-index szorzatokkal dolgozik, a számítások egyszerűsítése céljából alkalmazzák inkább a logaritmikus formulát. (Matematikailag ez megtehető, mivel a $ln$ függvény szigorúan monoton növekvő függvény.)

Gazdaságossági indexelési eljárások

Konüs-index

Az az árindexek külön csoportját képezik a megélhetési árindexek. A megélhetési árindex egy adott életnívó megtartásához szükséges javak minimális költségeinek a változását méri. Legjelentősebb a Konüs-index.

$C(u^t,p^t)\equiv \underset{q}{\min }\{\sum _{i=1}^n{p}_i^t{q}_i:f(q)=u^t\equiv f(q^t)\}$

A $t$ periódus $n$ árura vetített árvektora $p^t$. A $C(u,p)$ függvény a fogyasztói költségfüggvény.

$P_K(p^0,p^1,q)=\frac{C(f(q),p^1)}{C(f(q),p^0)}$

Források

• Csáfor Hajnalka Statisztikai alapfogalmak Sablon:Wayback 7-9. oldal
• Lipécz György, Leíró statisztika 4, Index-számítás Sablon:Wayback Általános Vállalkozási Főiskola, 2010
• Glossary. Nemzetközi Valutaalap Producer Price Index manual
• Consumer price index manual: Theory and practice, ILO/Nemzetközi Valutaalap/OECD/UNECE/Eurostat/Világbank, 2004, Genf Sablon:ISBN