Hiperbolikus spirál

Hiperbolikus spirál (a=2 paraméterrel)

A hiperbolikus spirál egy síkgörbe. Polárkoordinátás egyenlete:

$r=\frac{a}{\theta }$,

ami az arkhimédészi spirál inverz függvénye. A pólustól végtelen távolságban kezdődik (θ nulla értékéhez r = a/θ végtelen tartozik), egyre „gyorsabban” és „gyorsabban” örvénylik, ahogy közeledik a pólus felé. A görbe bármely pontja és a pólus közötti távolság – a görbe mentén haladva – végtelen.

Az

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$

transzformációs összefüggéseket alkalmazva megkapjuk az egyenletét a derékszögű koordináta-rendszerben:

$x=a\frac{\cos t}{t},y=a\frac{\sin t}{t},$

ahol a t paraméter azonos a θ polárkoordinátával.

A spirálnak y = a (vagis az x tengellyel párhuzamos) aszimptotája van, ha t tart a nullához, akkor y tart a-hoz, és x tart a végtelenhez:

$\underset{t\to 0}{\lim }x=a\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\cos t}{t}=\mathrm{\infty },$

$\underset{t\to 0}{\lim }y=a\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=a\cdot 1=a.$

Egy tetszőleges P pont görbületi sugara:

$\rho =r{(\frac{r^2}{a^2}+1)}^{3/2}=\frac{a}{\theta }{(\frac{\sqrt{1+{\theta }^2}}{\theta })}^3$

Az r sugár és az érintő szöge a

$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{1+{\theta }^2}};$

vagy a

$\sin \alpha =\frac{\theta }{\sqrt{1+{\theta }^2}};$

összefüggésből számítható.

Források

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.