Henger

Egyenes köralapú henger

Elliptikus henger

A henger (idegen szóval cilinder) térbeli test. A henger alapját egy görbe, a vezérgörbe adja. Többnyire olyan hengerről van szó, aminek alapját ellipszis, speciális esetben kör alkotja. Legtöbbször ezt nevezik hengernek.

A keskenyebb, vagyis az alapot képező kör átmérőjénél lényegesen kisebb magasságú vagy szélességű hengert korongnak nevezik.

A(z elliptikus) henger leírható például az alábbi egyenlőtlenség-rendszerrel:

${\left(\frac{x}{r_1}\right)}^2+{\left(\frac{y}{r_2}\right)}^2\le 1,0\le z\le h$

ahol $r_1$ és $r_2$ az alapot képző ellipszis sugarai, $h$ pedig a henger magassága.

A henger elfajult másodrendű felület, mert egyenletében nem szerepel a harmadik koordináta.

Képletek

Térfogat

A henger térfogata az alap területének és a henger magasságának a szorzata. Ellipszis alapú hengerek térfogata, a fenti jelöléseket használva, az alábbi formula szerint számítható:

$V=\pi r_1{r}_{2}h$

amely köralapú hengernél így egyszerűsödik le:

$V=\pi r^{2}h$

Felszín

A kör alapú henger felszíne kiszámítható a palást felületét és az alap felületének kétszeresét összegezve:

$A=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(r+h).$

Adott térfogat mellett a henger felszíne a $h=2r$ esetben minimális. Adott felszín mellett a térfogat $h=2r$ esetben maximális.

Hengerszeletek

Körhenger és sík metszete ellipszis, elfajult esetben két párhuzamos egyenes, vagy üres halmaz.

Másfajta hengerek

• Más vezérgörbéjű felületeket is hengernek nevezhetnek. Így például beszélnek
  • hiperbolikus hengerről:

${\left(\frac{x}{a}\right)}^2-{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$

• • parabolikus hengerről:

$x^2+2ay=0.$

A valós elliptikus hengereken kívül találkozhatunk képzetes elliptikus hengerekkel is, amiknek nincs valós pontjuk:

${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=-1$

Tankprobléma

Egy fekvő, nem teli hengerben levő folyadék térfogatát is kiszámíthatjuk a térfogat = alapszor magasság képlettel. A körszelet területképletével

$V=r^{2}L(\arccos \left(\frac{r-h}{r}\right)-(r-h)\frac{\sqrt{2rh-h^2}}{r^2}),$

ahol L a henger hossza, r az alapkör sugara, h a hengerben levő folyadék magassága.

Hengerfelület a topológiában

Vegyünk egy négyzetet, és azonosítsuk egymással két szemben fekvő oldalát. Pontosabban, az $([0,1]\times [0,1])$ egységnégyzet két oldalát a következő reláció szerint azonosítjuk:

(x,0)~(x,1) minden 0 ≤ x ≤ 1-re.

Hasonlóan áll elő a Möbius-szalag, de ahhoz el kell fordítani az egyik oldalt a teljesszög felével.

Galéria

• 
  A henger magassága h-val, az alapkör sugara r-rel jelölve az angol height és a latin radius szavak rövidítéseként.
• 
  A kör átmérőjét itt d (diameter) jelöli.
• 
  Piros, sugárkövetéssel renderelt henger.
• 
  Rácsmodellel szemléltetett henger.

Források

• A henger felszíne a MATHguide-nál
• A henger térfogata a MATHguide-nál
• Spinning Cylinder at Math Is Funnál
• A henger térfogata interaktív animáció a Math Open Reference-nél
• Szűcs András: Topológia