Hamilton-operátor

A Hamilton-operátor a kvantummechanikában a rendszer kanonikus változókkal (koordinátákkal és hozzájuk konjugált impulzusokkal) kifejezett energiájának az operátora.

A klasszikus mechanikai $H=H(p_i,x_i)$ Hamilton-függvényből egyszerűbb esetekben a $x_i\to \widehat{x_i},p_i\to \widehat{p_i}$ helyettesítéssel ("operátorosítás") kapjuk. Koordinátareprezentációban ${\hat{x}}_i=x_i$ és $\widehat{p_i}=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x_i}$, ahol $i$ az imaginárius egység, $\hslash$ pedig a redukált Planck-állandó. Ahogy a klasszikus mechanikában, a Hamilton-operátor a kvantummechanikában is mozgási és potenciális energia összegeként írható fel: $\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}$.

Példák

Ebben a szakaszban a tömeget $m$ fogja jelölni.

Szabad részecskék

Egy szabad részecske Hamilton-operátora egy dimenzióban:

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$,

magasabb dimenziókban pedig a Laplace-operátorral a következőképpen általánosítható:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }$.

Amennyiben több szabad ($m_i$ tömegű) részecske alkot egy rendszert, melyek nincsenek egymással kölcsönhatásban, a rendszer Hamilton-operátora az egyes részecskék Hamilton-operátorainak összege:

$\hat{H}=-{\hslash }^2\sum _i\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{2m_i}$.

Harmonikus oszcillátor

Harmonikus rezgőmozgás esetén a klasszikus Hamilton-függvény a következő potenciális energiával bővül:

$V=\frac{k}{2}|\overrightarrow{x}{|}^2=\frac{m{\omega }^2}{2}|\overrightarrow{x}{|}^2$,

ahol $\omega$ a körfrekvenciát, $k$ pedig a rugóállandót jelöli. Három dimenzióban a kvantizálást követően a Hamilton-operátor a következő alakot veszi fel:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+\frac{m{\omega }^2}{2}|\hat{\overrightarrow{x}}{|}^2$.

Az operátor linearitása miatt látható, hogy a harmonikus oszcillátor háromdimenziós problémáját egydimenziós problémákra lehet szétválasztani.

Egy dimenzióban a keltő- és eltüntető operátorokat definiálva

${\hat{a}}^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(\hat{x}-\frac{i\hat{p}}{m\omega }),\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(\hat{x}+\frac{i\hat{p}}{m\omega })$,

a Hamilton-operátor a következő alakra hozható:

$\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2})=\hslash \omega (\hat{n}+\frac{1}{2})$,

ahol $n$ az úgy nevezett részecskeszám operátor.

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book