Gyöktelenítés

A gyöktelenítés a matematikában olyan módszerek összefoglaló neve, melyek során egy törtet úgy alakítunk át (értékének megőrzése mellett), hogy nevezőjében ne szerepeljen gyökjel. Az eljárás pontosabb neve: törtek nevezőjének gyöktelenítése. Időnként a számláló gyökmentes alakra hozására is szükség van, tágabb értelemben ez is gyöktelenítés.

A gyöktelenítés általában egy megfelelő gyökös kifejezéssel történő bővítéssel és különféle nevezetes azonosságok felhasználásával történik. A gyöktelenítés egyszerűbb módszerei a magyar középfokú oktatásban szerepelnek a kötelező (általában a tizedikes osztályok számára előírt) tananyagban.

Egyszerűbb kifejezések gyöktelenítése

Négyzetgyöktelenítés

1. $\frac{a}{m\sqrt{b}}$ gyöktelenítése (a,b,m ∈ Q racionális számok és m≠0, b≥0). Bővítünk a nevezőben szereplő gyökkifejezéssel:

$\frac{a}{m\sqrt{b}}=\frac{a}{m\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{m\sqrt{b}\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{m{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{b}}{mb}$

2. $\frac{a}{\sqrt{b}+c}$ gyöktelenítése (a,b,c ∈ Q racionális számok és b≥0). Bővítünk a nevezőben szereplő kifejezés ún. konjugáltjával, $\sqrt{b}-c$-vel, majd az

$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$

nevezetes azonosságot alkalmazzuk:

$\frac{a}{\sqrt{b}+c}=\frac{a}{\sqrt{b}+c}\cdot \frac{\sqrt{b}-c}{\sqrt{b}-c}=\frac{a(\sqrt{b}-c)}{(\sqrt{b}+c)(\sqrt{b}-c)}=$ $=\frac{a(\sqrt{b}-c)}{{\left(\sqrt{b}\right)}^2-c^2}=\frac{a(\sqrt{b}-c)}{b-c^2}$

Egy $\frac{a}{\sqrt{b}-c}$ alakú kifejezés gyöktelenítése ugyanígy megy, csak ott $\sqrt{b}+c$-vel bővítünk.

Az utóbbi két módszer akkor is gyökteleníti a nevezőt, ha $c=\sqrt{d}$, azaz maga is egy racionális szám négyzetgyöke:

$\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{d}}$

hiszen a végeredményül kapott tört nevezőjében c² szerepel.

n-edik-gyöktelenítés

$\frac{a}{\sqrt[n]{b}}$ gyöktelenítése (a,b ∈ R valós számok, n∈N olyan természetes szám; mely legalább kettő; és ha n páros, b≥0): bővítünk a nevezőben szereplő kifejezés n-1-edik hatványával:

$\frac{a}{\sqrt[n]{b}}=\frac{a}{\sqrt[n]{b}}\cdot \frac{{\left(\sqrt[n]{b}\right)}^{n-1}}{{\left(\sqrt[n]{b}\right)}^{n-1}}=\frac{a{\left(\sqrt[n]{b}\right)}^{n-1}}{\sqrt[n]{b}\cdot {\left(\sqrt[n]{b}\right)}^{n-1}}=\frac{a{\left(\sqrt[n]{b}\right)}^{n-1}}{{\left(\sqrt[n]{b}\right)}^n}=\frac{a{\left(\sqrt[n]{b}\right)}^{n-1}}{b}$

További példák

A fentebb leírt példákban előforduló kifejezések természetesen nem merítik ki az összes gyökkifejezéses nevezőjű törteket, a leírt módszerek pedig nem alkalmasak minden ilyen tört gyöktelenítésére. A kettőnél több gyök összegét tartalmazó törtek nevezőjének gyöktelenítése például több lépésben történhet a konjugálttal való bővítés és az egyszerű bővítés módszerét alkalmazva, ezeket esetleg kombinálva vagy bármelyiküket többször ismételve:

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})}$ $=$

$=$ $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{{(\sqrt{2}+\sqrt{5})}^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2}$ $=$ $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{(2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+5)-7}$ $=$

$=$ $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{(7+2\sqrt{10})-7}$ $=$ $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{2\sqrt{10}}$ $=$

$=$ $\frac{\sqrt{20}+\sqrt{50}-\sqrt{70}}{20}$

Hasonlók mondhatóak, ha a nevezőben gyökjel alatt további gyökjelek szerepelnek.

A gyöktelenítés szerepe, alkalmazásai

Irracionális, konvergens sorozatok

A gyöktelenítés jellegzetes alkalmazása, amikor gyököt tartalmazó konvergens sorozat konvergenciáját kívánjuk igazolni. Az alábbi példában a számlálót gyöktelenítjük.

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0$

Inverz meghatározása a számkörbővítésben

A racionális számok elsőfokú bővítéseiben az inverz elem általában a szám reciproka. Például az a + b√2 alakú számok esetén, ahol a és b racionális számok, a nemnulla a + b√2 szám inverzét a reciproka konjugálttal való bővítésével kapjuk:

$\frac{1}{a+\sqrt{2}b}=\frac{a-\sqrt{2}b}{(a+\sqrt{2}b)(a-\sqrt{2}b)}=\frac{a-\sqrt{2}b}{a^2-2b^2}$

(A √2 irracionalitásának bizonyításához hasonló módon belátható, hogy a nevező sosem lesz nulla.)

Hasonló alkalmazása van a komplex szám reciprokának kiszámításánál, amikor algebrai alakban szeretnénk az eredményt, hiszen a komplex számok teste nem más, mint a valós számtest √(-1) elemhez tartozó testbővítése. Ha a + bi nemnulla komplex szám, akkor

$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2-(-1)b^2}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$

Táblázatokkal történő számolás megkönnyítése

Amikor számológép nélkül egy olyan tört tizedestört alakját szándékszunk kiszámolni, amelynek nevezőjében egy irracionális számértéket felvevő gyökkifejezés áll, akkor, lévén a gyökkifejezés közelítő értéke többjegyű, a számlálóban álló számot egy, a nevezőben álló többjegyű számmal kell osztani (a követelmények szerint általában három tizedesjegyig kell számolni a közelítő értéket); holott a tört gyöktelenített alakjában egyszerűbben végezhető el az osztás.

Például a $t=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707106781...$ törtet kiszámolva, a nevezőben álló gyök kettő értéke két tizedesjegyre 1,414, tehát $t\approx \frac{1}{1,414}=\frac{1000}{1414}$, azaz egy négyjegyű számmal kell osztani. Ugyanakkor a t-vel azonos értékű, de nevezőjében gyökjelet nem tartalmazó $\frac{\sqrt{2}}{2}$ tört kiszámolásakor elegendő csak a sokkal egyszerűbb kettővel való osztást végezni: $t\approx \frac{1,414}{2}$, ami technikailag is egyszerűbb, könnyebb és így gyorsabb is.

A műveletvégzés hibájának leszorítása

Ha számológéppel számolunk, akkor a számolás fenti értelemben vett könnyűsége és időigénye a háttérbe kerül, vagy egészen jelentéktelenné válik, marad azonban egy másik probléma, a pontosságé. Az alábbi táblázatban a fent említett t tört egyre nagyobb pontossággal közelítő értékei láthatóak kétféleképp (gyökös, illetve gyöktelenített nevezőjű közelítő törttel) számolva. A gyöktelenített alakban számolt közelítések pontosabbak (kisebb a hiba). Ez a jelenség a 0-hoz közeli törtek esetében nyilvánul meg a legerősebben (az Sablon:Nowrap függvény „a 0 közelében ugyanis a végtelenbe tart”, azaz kis eltérés a nevező(ben lévő gyök) pontos értéktől a függvényértékek, vagyis a közelítőleg és pontosan számolt törtek értékének igen nagy eltérését, azaz a közelítés nagy hibáját is eredményezheti – míg gyöktelenített tört esetében a gyök közelítő és pontos értékének eltérése a számlálóban „manifesztálódik”, így a tört megközelítésének hibája általában kisebb, mint a gyökös része közelítésének hibája, hisz az előbbi kiszámolásakor az utóbbi még le is osztódik a nevezővel s így ált. csökken).

pontosság	gyökös nevezőjű tört	tizedestört alakja	hiba	gyöktelenített nevezőjű tört	tizedestört alakja	hiba
egy tizedesjegy	$\frac{1}{1,4}$	0,71428571…	≈14‰	$\frac{1,4}{2}$	0,70	≈7‰
két tizedesjegy	$\frac{1}{1,41}$	0,7092198581..	≈2,11‰	$\frac{1,41}{2}$	0,7050	≈2,10‰
három tizedesjegy	$\frac{1}{1,414}$	0,70721357850..	≈0,1067973‰	$\frac{1,414}{2}$	0,7070	≈0,106781‰
négy tizedesjegy	$\frac{1}{1,4142}$	0,707113562…	≈6,7813 ppm	$\frac{1,4142}{2}$	0,70710	≈6,7812 ppm
öt tizedesjegy	$\frac{1}{1,41421}$	0,707108562…	≈1,781191 ppm	$\frac{1,41421}{2}$	0,7071050	≈1,781186 ppm

Az olyan számítástechnikai motivációk, miszerint a közelítő értékekkel osztani a számológépen is nehezebb e gépek „soros bemenete” miatt – azaz valahová (akár papírra, akár a gép memóriájába) fel kell jegyezni a nevezőből eredő gyökközelítő értékeket az osztáshoz, mert a gyök kiszámítása törölné a számlálóból származó bemenetet – a tudományos kalkulátorok elterjedésével – ezek általában tartalmazzák az 1/x gombot, melynek alkalmazása ezt a nehézséget áthidalja – elvesztették jelentőségüket, de csak alapműveleteket számítani képes (esetleg memória nélküli), egyszerűbb számológépekkel rendelkezők számára mindenkor fennállnak.

Hivatkozások

Külső hivatkozások

• Rationalizing the Denominator. Mathwords.com.