Kerekítés

A kerekítés az a művelet, melynek eredménye egy kevésbé pontos számérték, aminek viszont olyan tulajdonságai vannak, amik az eredeti számnak nincsenek. Célja többféle lehet:

• Becslés készítése, ekkor minden kerekítés felfelé vagy lefelé történik, felső illetve alsó becslés céljából
• A látszólagos pontosság elkerülése céljából. Például a munkaügyi ügynökség a munkanélküliek számát 100-ban adja meg.
• Egy fizikai mennyiség kerekítése a használt mértékegységhez. Például arányok átváltása egész számokra mandátumok kiosztásakor.

További indokok tizedestörtek esetén:

• Könnyebb olvashatóság
• Az ábrázolhatóság korlátai
• A szám irracionális, pontos értéke nem használható.

Pozitív számoknál szoktak beszélni felfelé, illetve lefelé kerekítésről. Negatív számoknál nem mindig egyértelmű, hogy a szerző a szám előjeles értékét vagy abszolútértékét kerekíti. Emiatt beszélnek nullához, illetve nullától való kerekítésről is.

A kerekítés jele ≈, ami arra utalhat, hogy az utána álló szám kerekített. Először Alfred George Greenhill használta, 1892-ben.

Kerekítési szabályok

Kereskedői kerekítés

Az iskolában tanított kereskedői kerekítés szabályai nemnegatív számok esetén:

• Ha az első elhagyott jegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor lefelé kerekítünk;
• ha az első elhagyott jegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor felfelé kerekítünk.

Ezt a szabályt a DIN 1333 szabvány írja le. Példák:

• 13,3749… € ≈ 13,37 €
• 13,3750… € ≈ 13,38 €

Negatív számok esetén az abszolútértéket veszik figyelembe; tehát ha az első elhagyott jegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor a nullától kerekítenek, különben a nullához:

• −13,3749… € ≈ −13,37 €
• −13,3750… € ≈ −13,38 €

Szimmetrikus kerekítés

A szimmetrikus kerekítés hasonló a kereskedői becsléshez. Nevezik geodetikus, torzítatlan, matematikai, tudományos kerekítésnek is. Részletes szabályai:

• Ha az első elhagyott jegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor lefelé kerekítünk;
• ha az első elhagyott jegy 6, 7, 8 vagy 9, akkor felfelé kerekítünk;
• ha az első elhagyott jegy 5, és utána nem csupa nulla áll, akkor felfelé kerekítünk;
• ha az első elhagyott jegy 5, és utána nullák állnak, akkor úgy kerekítünk, hogy a kapott szám utolsó jegye páros legyen.

Ezt a módszert használják a numerikus matematikában, a technikában és a mérnöki tudományokban, és az IEEE-754 szabvány rögzíti. Lebegőpontos számábrázolások kettes számrendszerbeli alakjában is ezt használják. Angol neve Round to Even vagy Banker’s Rounding.

Példák:

• 2,2499 ≈ 2,2
• 2,2501 ≈ 2,3
• 2,2500 ≈ 2,2
• 2,3500 ≈ 2,4
• 2,4600 ≈ 2,5

Statisztikai szempontból a kereskedői becslés torzít, mivel a 0,5-et mindig csak felfelé kerekíti, lefelé soha. Szimmetrikus kerekítés esetén, ha az eloszlásban a kis és a nagy számok is ugyanolyan gyakoriak, a felfelé és a lefelé kerekítés ugyanolyan gyakori.

Összegtartó kerekítés

Összegtartó kerekítés esetén egy összeg tagjait kerekítik úgy, hogy az összeg ugyanaz maradjon. Így előfordulhat, hogy egy számot nem a hozzá közelebbi, hanem a távolabbi érték felé kerekítik.

Fontos alkalmazások: annak megállapítása, hogy egy választás után egy pártnak hány mandátuma lesz, illetve a teljes áfa felosztása a tagok között.

Az eljárás feltételezi, hogy az összes tag pozitív, illetve azonos előjelű. Ha a tagok között pozitív és negatív számok is vannak, akkor a Hare-Niemeyer-eljárás általánosítható: Először minden számot a hozzá legközelebbi kerek számra kerekít. Ha ezzel az összeg túl nagy lesz, akkor megkeresi az abszolútértékben legnagyobb felkerekítést, és megváltoztatja a kerekítés irányát.

További kerekítés

Hogyha további kerekítésre van szükség, akkor, ha ismert a kiindulási szám, akkor célszerű azt kerekíteni, különben a kerekítés veszíthet pontosságából. Ez akkor következhet be, ha a kerekített szám utolsó jegye 5. Példa: Legyen az eredeti szám 13,374999747; az első kerekítés eredménye 13,3750.

• Ismert kiindulási szám esetén a kerekítés eredménye 13,37.
• Ismeretlen kiindulási szám esetén a kerekítés eredménye 13,38.

Tudományos munkákban, függvénytáblázatokban, logaritmustáblákban néha jelzik a kerekítések irányát. A felfelé kerekítést a kerekítéssel nyert jegy alá, illetve fölé húzott vonal, a lefelé kerekítést pont jelzi.

Példák:

• $3,4124928...$ kerekítése $3,412\underset{\_}{5}$; az újabb kerekítés eredménye $3,41\dot{2}$, ami lefelé kerekítés.
• $2,6245241...$ kerekítése $2,624\dot{5}$; az újabb kerekítés eredménye $2,625$, azaz $2,62\underset{\_}{5}$, tehát felfelé kerekítés. A következő kerekítés lefelé kerekítés lenne.

Ha nincsenek további jegyek, akkor a számot pontosnak tekintik.

Számítások

Kerekített számokkal való számolás után annyi tizedesjegyet kell meghagyni, amennyit a kerekítés megőrzött. Például, ha egy erőt 12,2 Newtonnak mértek, akkor a végeredménynek is három értékes jegyet kell tartalmaznia, különben hamis pontosság érzetét kelti.

Formalizálás

A kerekítési szabályokat rendszerint úgy magyarázzák, hogy a gyerekek is megértsék. Bronstein-Szemengyajev könyvsorozatában, a Taschenbuchs der Mathematik Elementarmathematik kötetében a bonyolultabb kerekítési szabályokat is a magasabb matematika módszerei nélkül írják le.

Véges és végtelen számjegysorozatok

A szerzők bevezetik a formális számnevek fogalmát (nem tévesztendő össze a szófajjal), melyen egy adott számrendszerbeli számjegysorozatot értenek. A pozitív $\frac{a}{10^n}$ alakú tizedestörtek ($a,n\in \mathbb{N}$) írhatók, mint

$z_v{z}_{v-1}\dots z_0,z_{-1}{z}_{-2}\dots z_{-n}$

ahol a szám egészrésze a tizedesvessző előtti $v$ jegy, törtrésze pedig $n$ tizedesvessző utáni jegy. $z_v,\dots ,z_{-n}$ előáll a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} számjegyekkel.

A többi valós szám tetszőlegesen pontosan közelíthető véges tizedestörtekkel. Egy $x$ valós szám tizedestört alakba fejtésének együtthatói az

$\sum _{i=v}^{\mathrm{\infty }}{a}_{i}10^i$

a $z_v{z}_{v-1}\dots z_0,z_{-1}\dots$ számjegyek végtelen sorozatát adják. Ahol $a_i$ a tizedesjegyek alaki értéke, és 0 alaki értéke $0$, 1 alaki értéke $1$, és így tovább. Az $A(j)$ közelítő értékekből álló sorozat felülről korlátos, mivel $x$ jó felső korlát:

$A(j):=\sum _{i=v}^{-j}{a}_{i}10^i(j\ge -v)$

$x-A(j)\le 10^{-j}$ tart a nullához, így $A(j)$ tart $x$-hez. Ha

$Z(j):=z_v\dots z_0,z_{-1}\dots z_{-j}$

az $A(j)$-t ábrázoló számsorozata, akkor egy $1\le k\le l$ $Z(l)$ ábrázoló számsorozatának $Z(k)$ egy prefixe. Egy végtelen $x$ prefixét informálisan kezdeti szakaszának nevezik.

Az $A(j)$-ről és a $Z(j)$-ről tett kijelentések akkor is teljesülnek, hogyha $x$ ábrázolható $n$ tizedesjeggyel, azaz $z_{-1}\dots z_{-n}$ Ekkor $i>n$esetén az $a_i$ együtthatók és a $z_i$ jegyek egyenlőek 0-val. Ez a módszer a kerekítési szabályok formalizálását is segíti.

Negatív számokra hasonlóak fogalmazhatók meg. Annyi változik, hogy a közelítő értékek sorozata csökken, felső korlát helyett alsó korlát van, és így tovább.

A fentiek más számrendszerben is levezethetők, az adott számrendszerben használatos jegyekkel. A mindennapokban használt tízes számrendszer mellett a kettes számrendszerbeli megfogalmazás lehet fontos, a számítógépek által végzendő kerekítések megvalósítására.

Az $z_{-1}...z_{-j}$ írásmód formális rekurzióval definiálható, ahol a $\circ$ jel a konkatenáció, $\epsilon$ az üres szó jele:

$z_{-1}\dots z_{-0}=\epsilon ;z_{-1}\dots z_{-(j+1)}=z_{-1}\dots z_{-j}\circ (z_{-(j+1)})(j\in {\mathbb{N}}_0).$

Levágás

A $b$-edik tizedesjegy utáni levágás után azt a számot kapjuk az eredetileg $n\ge b$ ismert jegyű $z_v\dots z_0,z_{-1}\dots z_{-n}\dots$ számból, melynek $b$ tizedesjegye ismert, és $z_v\dots z_0,z_{v+1}\dots z_{-b}$. Ez az eredeti szám prefixe. A $b=n$ esetben az eredeti $x$ számnak $b$ jegyét határozzák meg, így a $Z(b)$-vel ábrázolt szám maga is közelítő érték. Azonban a matematikai kerekítések számára legalább $z_{-b-1}$ pontossággal kellene a számot ismerni.

A levágás célja lehet a számítás segítése, vagy a túlzott pontosság elkerülése, amikor tudjuk, hogy a méréssel kapott $b$ jegy közül csak $n$ pontos.

Lefelé kerekítés

Lefelé kerekítéskor pozitív számok esetén az eredetinél nem nagyobb számot kapunk, ami a legnagyobb az adott pontosságú számok közül, ami az eredetinél nem nagyobb. Ehhez a további tizedesjegyeket elhagyjuk, ami így a levágásra hasonlít. Az eredmény sosem lesz negatív, de ha a szám kicsi, és a kerekítés elég pontatlan, akkor az eredmény nulla lesz.

Speciálisan, ha egy pozitív tizedestörtet lefelé kerekítenek, egész pontossággal, akkor a kerekítés eredménye éppen az egészrész. Általánosabban, a lefelé kerekítés kifejezhető az egészrésszel, tízes számrendszerben:

$\frac{\lfloor 10^b\cdot x\rfloor }{10^b}=\lfloor 10^b\cdot x\rfloor \cdot 10^{-b}$,

ahol a kerekítés $b$ tizedesjegy pontosságú.

Felfelé kerekítés

Felfelé kerekítéskor az eredmény nem lesz kisebb, mint az eredeti szám; az az eredetinél nem kisebb szám, ami a legkisebb az adott pontosságú számok között. A további tizedesjegyek elhagyásán túl, amennyiben az elhagyott jegyek nem mind nullák, a megmaradt utolsó jegyet megnöveljük eggyel. Ha így átvitel keletkezik, azt végig kell futtatni a számon, így kapjuk a kerekített értéket.

Az egészrészhez hasonlóan használható a felső egészrész függvény az eredmény kifejezésére. Amennyiben $x$ pozitív valós szám, és $b$ tizedesjegyre kell kerekíteni a tízes számrendszerben, akkor:

$\lceil 10^b\cdot x\rceil \cdot 10^{-b}$.

Számítógép

A számítógépben nem tárolhatók tetszőleges pontossággal a számok a memória korlátai miatt. Többnyire azonban elég ennél kisebb pontosság is, így gyakran kerül sor kerekítésre a számítások során, hogy az eredmény ábrázolható legyen az adott számtípussal.

A legegyszerűbb módszer a levágás: a pontosságból kilógó jegyeket egyszerűen elhagyja a gép. Például $10,11_2=2,75_{10}$ kerekítése egészekre $10_2=2_{10}$. Ez egy gyors módszer, azonban viszonylag nagy kerekítési hibákat eredményez. Azonban a jelfeldolgozás éppen azt használja ki, hogy megakadályozza instabil határciklusok létrejöttét.

Használják a fent említett kereskedelmi kerekítést is. Ehhez például egészekre kerekítés esetén a levágás előtt hozzáadnak $0,1_2=0,5_{10}$-et a számhoz. Így például $2,75_{10}+0,5_{10}=3,25_{10}=11,01_2$, levágás után $11_2=3_{10}$. A kerekítés pozitív irányba torzít.

Az IEEE-754 szabvány a matematikai kerekítést írja le, tehát a legközelebbi párosra kerekítést kettes számrendszerben. Azaz, ha az eredmény $\dots ,\dots 5_{10}=\dots ,\dots 1_2$ alakú, akkor a gép az utolsó 1-es helyett 0-t ír, majd az átvitellel felszalad a számon. Mivel rossz esetben az átvitel végigfut a teljes számon, azért ez a kerekítés lassú, és nagy számítási teljesítményt követel. Alternatív megoldásként táblázat is használható, ami leírja a kerekítést. Ebből keresi ki a gép a kerekítés eredményét.