Gauss–Lucas-tétel

Sablon:Nincs forrás A Gauss–Lucas-tétel kapcsolatot teremt egy komplex együtthatós polinom gyökei és deriváltjának gyökei között.

A tétel állítása

Ha $P(z)$ egy komplex együtthatós polinom, akkor $P^{\prime }(z)$ minden gyöke $P(z)$ gyökeinek konvex burkában van (a komplex számsíkon).

A tétel bizonyítása

Legyen $P(z)$ gyöktényezős felbontása

$P(z)=a_n(z-r_1{)}^{m_1}\cdots (z-r_k{)}^{m_k},$

ahol a különböző $r_1,\dots ,r_k$ gyökök multiplicitásai $m_1,\dots ,m_k$. Ekkor

$\frac{P^{\prime }(z)}{P(z)}=\sum _{j=1}^k\frac{m_j}{z-r_j}.$

Legyen s $P^{\prime }(z)$ egy gyöke. Ha $s$ az $r_1,\dots ,r_k$ gyökök valamelyike, az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát, hogy nem közülük való. A fentiek szerint

$\sum \frac{m_j}{s-r_j}=0.$

A nevezőket konjugáltjaikkal megszorozva az adódik, hogy

$\sum a_j(\bar{s}-\overline{r_j})=0$

ahol

$a_j=\frac{m_j}{|s-r_j{|}^2}.$

Minden $a_j$ pozitív valós szám. A bal oldal tagjait konjugálva az adódik, hogy

$\sum a_j(s-r_j)=0$

.

Legyen $a=a_1+\cdots +a_k$. Ekkor azt kapjuk, hogy

$\sum a_j{r}_j=as.$

Ha most bevezetjük a $p_j=a_j/a$ számokat, akkor egyrészt

$\sum p_j{r}_j=s$

másrészt a $p_j$-k nemnegatív valós számok amelyek összege 1, tehát $s$ valóban benne van az $r_j$-k konvex burkában.