Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika

A Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika (FLRW) az Einstein-egyenletek egy egzakt megoldása az általános relativitáselméletben.

Időtől és helytől függően több más néven is nevezték ezt a metrikát a négy független felfedezőjéről; Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson és Arthur Geoffrey Walker – néhány példa: Friedmann–Robertson–Walker- (FRW) vagy Robertson–Walker- (RW) vagy Friedmann–Lemaître-metrika (FL). Ezt az Univerzum megoldást szokás Standard Modellnek is nevezni a kozmológiában.

Az általános metrika

Az FLRW metrika homogén és izotrop térből indul ki. Ezeket a feltételeket kielégítő általános metrika az alábbi:

$-c^2\mathrm{d}{\tau }^2=-c^2\mathrm{d}{t}^2+{a(t)}^2\mathrm{d}{\mathrm{\Sigma }}^2$

ahol $\mathrm{\Sigma }$ a 3 dimenziós tér általános metrikája, ez lehet, elliptikus, euklideszi, vagy hiperbolikus. $\mathrm{d}\mathrm{\Sigma }$ nem függ t-től, az időtől való függés kizárólag az a(t) függvényben szerepel, melyet szokás "skála faktornak" vagy "skála függvénynek" nevezni.

Polár koordináták esetén a térszerű rész a következő alakú

$\mathrm{d}{\mathrm{\Sigma }}^2=\frac{\mathrm{d}{r}^2}{1-k{r}^2}+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2,\text{ahol }\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2=\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2.$

hyperbolikus koordináták esetén

$\mathrm{d}{\mathrm{\Sigma }}^2=\mathrm{d}{r}^2+S_k(r{)}^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$

ahol

$S_k(r)=\{\begin{array}{cc}{\sqrt{k}}^{-1}\sin (r\sqrt{k}),& k>0\\ r,& k=0\\ {\sqrt{|k|}}^{-1}\sinh (r\sqrt{|k|}),& k<0.\end{array}$

itt k egy dimenziotlan szám, amely lehet {−1,0,+1}.

A k = 0 esetben a tér sík és így a 3 dimenziós rész a következő egyszerű alakú lesz

$\mathrm{d}{\mathrm{\Sigma }}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2.$

Ez kiterjeszthető a k ≠ 0 esetre is a következően

$x=r\cos \theta$,

$y=r\sin \theta \cos \varphi$, és

$z=r\sin \theta \sin \varphi$,

ahol r a radiális koordinátának tekinthető.

A megoldás

Az Einstein-egyenletek általános alakja az alábbi

$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

Ha az energia-impulzus tenzorról (hasonlóan a térhez) feltesszük, hogy homogén és izotrop, akkor a következő ún. Friedmann-egyenleteket kapjuk:

${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2+\frac{k{c}^2}{a^2}-\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}=\frac{8\pi G}{3}\rho$ $2\frac{\ddot{a}}{a}+{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2+\frac{k{c}^2}{a^2}-\mathrm{\Lambda }{c}^2=-\frac{8\pi G}{c^2}p.$

itt k az előző részben tárgyalt dimenziótlan állandó {−1,0,+1}.

Megmutatható, hogy az egyenletek ekvivalensen átalakíthatók az alábbi alakba

$\dot{\rho }=-3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +\frac{p}{c^2})$ $\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{3p}{c^2})+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}$

A kozmológiai konstans

A kozmológiai konstans a következő helyettesítéssel kiküszöbölhető

$\rho \to \rho +\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{8\pi G}$

$p\to p-\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^4}{8\pi G}.$

Tehát a kozmológiai állandó magyarázható úgy mint egyfajta energia, amelynek negatív a nyomása (de az energia sűrűsége pozitív):

$p=-\rho c^2.$

Az ilyen alakban felírt kozmológiai állandót szokták sötét energiának nevezni.

Ahhoz, hogy a Világegyetem gyorsuló tágulását okozza elég feltenni, hogy

$p<-\frac{\rho c^2}{3}.$

Newtoni közelítés

A Friedmann egyenletek newtoni közelítésben az alábbiak

$-a^3\dot{\rho }=3a^2\dot{a}\rho +\frac{3a^{2}p\dot{a}}{c^2}$

$\frac{{\dot{a}}^2}{2}-\frac{G\frac{4\pi a^3}{3}\rho }{a}=-\frac{k{c}^2}{2}.$

A Világegyetem Einstein sugara

A Világegyetem Einstein sugara az a görbületi sugára a térnek amely az Einstein Világa, megoldásban szerepel.

$\dot{a}=\ddot{a}=0$

A Friedmann egyenletek esetén az Einstein sugár $R_E=c/\sqrt{4\pi G\rho }$, ahol $c$ a fénysebesség, $G$ a Newton-i gravitációs konstans, és $\rho$ a Világegyetem sűrűsége. Az Einstein sugár számértéke 10¹⁰ fényév.

További olvasásra

• Sablon:Citation
• Sablon:Citation English trans. in 'General Relativity and Gravitation' 1999 vol.31, 31–
• Sablon:Cite book. (See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models.)
• Sablon:Citation translated from Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation
• Sablon:Citation

További információk

• Sablon:Cite web