First-order second-moment eljárás

A valószínűségszámításban a first-order second-moment eljárás, másként mean value first-order second-moment módszer egy közelítő módszer egy függvény momentumainak számítására, ahol a bemenő mennyiségek véletlenek. Az angol elnevezés arra utal, hogy a valószínűségi változók elsőrendű Taylor-sorát és első két momentumát használja.

Approximáció

Adva legyen a $g(x)$ célfüggvény, ahol az $x$ vektor az $X$ véletlen vektor realizációja, aminek sűrűségfüggvénye $f_X(x)$. Mivel $X$ véletlen, azért $g$ is véletlen.

Az algoritmus közelítése a várható értékre

${\mu }_g\approx g(\mu )$

és a szórásnégyzetre

${\sigma }_g^2\approx \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_j}\mathrm{cov}(X_i,X_j)$

ahol $n$ az $x$ dimenziója, és $\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}$ a középértékvektor parciális deriváltja $x$ i-edik koordinátája szerint.

Levezetés

A célfüggvényt a (tapasztalati) várható értékek $\mu$ vektora körüli Taylor-sorba fejtjük:

$g(x)=g(\mu )+\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}(x_i-{\mu }_i)+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}g(\mu )}{\partial x_i\partial x_j}(x_i-{\mu }_i)(x_j-{\mu }_j)+\cdots$

Ezt a várható érték és a szórásnégyzet approximációjához is felhasználjuk.

Várható érték

$g$ várható értéke a kövertkező integrállal határozható meg:

${\mu }_g=E[g(x)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)f_X(x)dx$

A Taylor-sor behelyettesítésével

$\begin{array}{cc}{\mu }_g& \approx \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[g(\mu )+\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}]f_X(x)dx\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(\mu )f_X(x)dx+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}(x_i-{\mu }_i)f_X(x)dx\\ & =g(\mu )\underset{1}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(x)dx}}+\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}\underset{0}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x_i-{\mu }_i)f_X(x)dx}}\\ & =g(\mu ).\end{array}$

Szórásnégyzet

A $g$ célfüggvény szórásnégyzete:

${\sigma }_g^2=E([g(x)-{\mu }_g{]}^2)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[g(x)-{\mu }_g{]}^2{f}_X(x)dx.$

Az eltolási tétellel:

${\sigma }_g^2=E([g(x)-{\mu }_g{]}^2)=E(g(x{)}^2)-{\mu }_g^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x{)}^2{f}_X(x)dx-{\mu }_g^2$

A Taylor-sor helyettesítésével:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_g^2& \approx \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{[g(\mu )+\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}(x_i-{\mu }_i)]}^2{f}_X(x)dx-{\mu }_g^2\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\{g(\mu {)}^2+2g(\mu )\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}(x_i-{\mu }_i)+{[\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}(x_i-{\mu }_i)]}^2\}{f}_X(x)dx-{\mu }_g^2\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(\mu {)}^2{f}_X(x)dx+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2g(\mu )\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}(x_i-{\mu }_i)f_X(x)dx\\ & +\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{[\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}(x_i-{\mu }_i)]}^2{f}_X(x)dx-{\mu }_g^2\\ & =g(\mu {)}^2\underset{1}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(x)dx}}+2g(\mu )\sum _{i=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}\underset{0}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x_i-{\mu }_i)f_X(x)dx}}\\ & +\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_j}(x_i-{\mu }_i)(x_j-{\mu }_j)]f_X(x)dx-{\mu }_g^2\\ & =\underset{\approx {\mu }_g^2}{\underbrace{g(\mu {)}^2}}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_j}\underset{\mathrm{cov}(X_i,X_j)}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x_i-{\mu }_i)(x_j-{\mu }_j)f(x)dx}}-{\mu }_g^2\\ & \approx \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i}\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_j}\mathrm{cov}(X_i,X_j).\end{array}$

Magasabb rendű approximáció

Az egyszerűség kedvéért a magasabb rendű approximációhoz a következő jelöléseket vezetik be:

$g_{\mu }=g(\mu ),g_{,i}=\frac{\partial g(\mu )}{\partial x_i},g_{,ij}=\frac{\partial g^2(\mu )}{\partial x_i\partial x_j},{\mu }_{i,j}=E[(x_i-{\mu }_i{)}^j]$

Továbbá feltételezik, hogy $X$ értékei függetlenek egymástól. A másodfokú tag figyelembe vételével a várható érték közelítése:

${\mu }_g\approx g_{\mu }+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{g}_{,ii}{\mu }_{i,2}$

A szórásnégyzeté:

$\begin{array}{cc}{\sigma }_g^2& \approx g_{\mu }^2+\sum _{i=1}^n{g}_{,i}^2{\mu }_{i,2}+\frac{1}{4}\sum _{i=1}^n{g}_{,ii}^2{\mu }_{i,4}+g_{\mu }\sum _{i=1}^n{g}_{,ii}{\mu }_{i,2}+\sum _{i=1}^n{g}_{,i}{g}_{,ii}{\mu }_{i,3}\\ & +\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{g}_{,ii}{g}_{,jj}{\mu }_{i,2}{\mu }_{j,2}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{g}_{,ij}^2{\mu }_{i,2}{\mu }_{j,2}-{\mu }_g^2\end{array}$

$g$ ferdesége a ${\mu }_{g,3}$ harmadik centrális momentumból számítható. Csak a lineáris tagok figyelembe vételével, de a magasabb momentumokra a közelítés:

${\mu }_{g,3}\approx \sum _{i=1}^n{g}_{,i}^3{\mu }_{i,3}$

A másodrendű közelítés megtalálható itt: B. Kriegesmann, "Probabilistic Design of Thin-Walled Fiber Composite Structures", Mitteilungen des Instituts für Statik und Dynamik der Leibniz Universität Hannover 15/2012 Ekkor az algoritmus elnevezése second-order third-moment eljárás. A szórásnégyzet másodrendű közelítésének teljes approximációja negyedfokig veszi figyelembe a tagokat, a harmadik centrális momentumé és ferdeségé pedig hatodfokig.