Fél nagytengely

A fél nagytengely egy ellipszisben.

A fél nagytengely geometriai fogalom, amely ellipszisek és hiperbolák méretét jelöli.

Ellipszis

A nagytengely az ellipszis két pontját összekötő azon egyenes szakasz, amely áthalad mindkét fókuszponton. A fél nagytengely ennek a fele; a középpontból indul az egyik fókuszponton át a csúcsig. Speciálisan, ha az ellipszis kör, akkor a fél nagytengely, és a fél kistengely is megegyezik a kör sugarával. Megfordítva, az ellipszis fél nagytengelyére gondolhatunk úgy, mint az ellipszis legnagyobb sugarára.

A fél nagytengely közvetlen kapcsolatban áll az ellipszis excentricitásával és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húrral. A következő képletekben az excentricitás e, a fél kistengely b, és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr fele ℓ:

$b=a\sqrt{1-e^2},$

$\ell =a(1-e^2),$

$a\ell =b^2.$

A fél nagytengely hossza éppen az ellipszis egy pontja és az egyik fókuszpont távolságának középértéke.

Helyezzük el az ellipszist úgy, hogy az egyik fókuszpontja az origóban, a másik az x tengelyen legyen! Polárkoordinátákban tekintve az ellipszis egyenletét:

$r(1-e\cos \theta )=\ell .$

Az $r=\frac{\ell }{1+e}$ és az $r=\frac{\ell }{1-e}$ középértéke: $a=\frac{\ell }{1-e^2}.$

Hiperbola

A hiperbola fél nagytengelye a hiperbola két ágának távolságának fele. Szokták ennek még a mínusz egyszeresét venni, a konvencióktól függően. A következő egyenletekben a hiperbola fél nagytengelyét a, a fél kistengelyét b, és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr felét ℓ. Ekkor:

$\frac{{(x-h)}^2}{a^2}-\frac{{(y-k)}^2}{b^2}=1.$

és

$a=\frac{\ell }{e^2-1}.$

A hiperbola transzverzális tengelyének iránya megegyezik a nagytengely irányával.

Parabola

Egy parabola tekinthető egy ellipszisekből álló sorozat határértékének, ahol is az egyik fókusz rögzített, míg a másik mindennél messzebb kerül. Eközben a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr változatlan. Ekkor mindkét tengely hossza a végtelenbe tart; a nagytengely valamivel gyorsabban nő, mint a kistengely.

Csillagászat

Keringési idő

A csillagászatban a fél nagytengely az égitestek ellipszis alakú pályáinak meghatározó eleme.

A keringő égitestek T keringési ideje

$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu }}$

ahol a a pálya fél nagytengelye, és μ az alap gravitációs paraméter. Tehát a keringési idő független az excentricitástól.

A Naprendszerben a fél nagytengely és a keringési idő közötti összefüggés követi a harmadik Kepler-törvényt:

$T^2\propto a^3$

ahol T-t években, a-t csillagászati egységben mérik. Ez a képlet a kéttest-probléma egyszerűsített leírása. A Newton által meghatározott alak:

$T^2=\frac{4{\pi }^2}{G(M+m)}{a}^3$

ahol G a gravitációs állandó, M a középponti, és m a keringő test tömege. Tipikusan M nagyságrendekkel nagyobb, mint m, ezért m elhanyagolható.

Átlagos távolság

Gyakran mondják, hogy a fél nagytengely a keringő és a középponti test átlagos távolsága. Ez azonban nem pontos, mert a különféle paraméterezések más és más középértéket adnak:

• A középponttól mért szög alapján vett középérték a fél nagytengelyt adja
• A fókusztól mért szög alapján véve a középértéket a fél kistengelyt kapjuk: $b=a\sqrt{1-e^2}$
• Az eltelt idő és a keringési idő hányadosával számolva

$a(1+\frac{e^2}{2}).$

• Az ellipszissel azonos területű kör sugara a mértani középpel számítható:

$\sqrt{ab}=a\sqrt[4]{1-e^2}.$

Energia

Az a fél nagytengely kiszámítható a következőképpen:

$a=\frac{-\mu }{2\epsilon }$

elliptikus, és ez vagy ellentettje hiperbolikus pálya esetén,

ahol $\epsilon =\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{\left|𝐫\right|}$ a specifikus orbitális energia, és $\mu =G(M+m)$ a gravitációs együttható.

Továbbá:

• v a keringő égitest kerületi sebessége
• r a keringő égitest helyvektora
• G a gravitációs állandó
• M és m a két test tömege.

Adott össztömeg és összenergia esetén a nagytengely azonos marad, tekintet nélkül az excentricitásra és a két test tömegének arányára. Megfordítva, adott össztömeg és adott nagytengely esetén az összenergia mindig ugyanaz marad.

Jelölése

• Semi major axis: a.

Források

• Ellipszis kis- és nagytengelye

Fordítás

• Sablon:Fordítás