Euler–Maclaurin-képlet

Az Euler–Maclaurin-képlet vagy formula kapcsolatot teremt az integrál és az összeg között. A formulát egymástól függetlenül fedezte fel Leonhard Euler és Colin Maclaurin 1735 körül. A formula alkalmazható végtelen vagy véges összegek becsléséhez, illetve integrálok értékének közelítő meghatározásához.

A formula

A képlet a következő alakot ölti:

$\sum _{k=p}^{m-1}f\left(k\right)=\underset{p}{\overset{m}{\int }}f\left(t\right)dt+\sum _{v=1}^{n-1}\frac{B_v}{v!}\left(f^{\left(v-1\right)}\left(m\right)-f^{\left(v-1\right)}\left(p\right)\right)+R_n$

Itt $B_v$ a Bernoulli-féle számokat, $R_n$ pedig a maradéktagot jelöli. A Bernoulli-polinomok felhasználásával a maradéktag így írható:

$R_n=-\frac{1}{n!}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(B_n\left(t\right)-B_n\right)\sum _{k=p}^{m-1}{f}^{\left(n\right)}\left(k+1-t\right)dt$

Ha n páros, akkor szokás a képletet a következő alakban is megadni:

$\sum _{k=p}^{m-1}f\left(k\right)=C+\underset{p}{\overset{m}{\int }}f\left(t\right)dt+\sum _{k=1}^{2s-2}\frac{B_k}{k!}{f}^{\left(k-1\right)}\left(m\right)+\theta \frac{B_{2s}}{\left(2s\right)!}{f}^{\left(2s-1\right)}\left(m\right),0<\theta <1$

Alkalmazás

A képlet alkalmazásával f(x) = ln(x) helyettesítéssel például eljuthatunk a Stirling-formuláig:

$\ln \left(x!\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\ln x-x+\frac{1}{2}\ln \left(2\pi \right)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k\left(2k-1\right)x^{2k-1}}$

A formula segítségével Euler a következő aszimptotikus sort találta a harmonikus sor részletösszegére:

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln \left(n\right)+C+\frac{1}{2n}-\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2i}}{2i}\frac{1}{n^{2i}}$

A C számot Euler-féle konstansnak nevezzük, értéke körülbelül 0,5772156649.

Irodalom

Springer Online Reference Works – http://eom.springer.de/