Ellipszoid koordináta-rendszer

Az ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, a $(\lambda ,\mu ,\nu )$ koordinátákkal. A kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszer általánosítása, Szemben a legtöbb használatban levő koordináta-rendszerrel, az ellipszoid koordináta-rendszer konfokális másodfokú felületeken alapul.

Alapképletek

A $(\lambda ,\mu ,\nu )$ ellipszoid koordinátákról a következő képletekkel lehet áttérni az $(x,y,z)$ Descartes-koordinátákra:

$x^2=\frac{(a^2+\lambda )(a^2+\mu )(a^2+\nu )}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}$

$y^2=\frac{(b^2+\lambda )(b^2+\mu )(b^2+\nu )}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}$

$z^2=\frac{(c^2+\lambda )(c^2+\mu )(c^2+\nu )}{(c^2-b^2)(c^2-a^2)}$

ahol az egyes koordinátákra a következő egyenlőtlenségek teljesülnek:

$-\lambda <c^2<-\mu <b^2<-\nu <a^2.$

Ebből következően a konstans $\lambda$-hoz tartozó felületek ellipszoidok:

$\frac{x^2}{a^2+\lambda }+\frac{y^2}{b^2+\lambda }+\frac{z^2}{c^2+\lambda }=1,$

míg a konstans $\mu$-jű felületek egyköpenyű hiperboloidok

$\frac{x^2}{a^2+\mu }+\frac{y^2}{b^2+\mu }+\frac{z^2}{c^2+\mu }=1,$

és a konstans $\nu$-jű felületek kétköpenyű hiperboloidok

$\frac{x^2}{a^2+\nu }+\frac{y^2}{b^2+\nu }+\frac{z^2}{c^2+\nu }=1$

Mindezek a felületek konfokális másodfokú felületek.

Skálázási tényezők és differenciáloperátorok

A képletek egyszerűsítésére bevezetjük a következő jelölést:

$S(\sigma )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(a^2+\sigma )(b^2+\sigma )(c^2+\sigma )$

ahol $\sigma$ a $(\lambda ,\mu ,\nu )$ koordináták bármelyikét reprezentálhatja. Ezzel a skálázási tényezők:

$h_{\lambda }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}{S(\lambda )}}$

$h_{\mu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}{S(\mu )}}$

$h_{\nu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}{S(\nu )}}$

Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

$dV=\frac{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{8\sqrt{-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}d\lambda d\mu d\nu$

és a Laplace-operátor:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=& \frac{4\sqrt{S(\lambda )}}{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}\frac{\partial }{\partial \lambda }\left[\sqrt{S(\lambda )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \lambda }\right]\\ & +\frac{4\sqrt{S(\mu )}}{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}\frac{\partial }{\partial \mu }\left[\sqrt{S(\mu )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu }\right]\\ & +\frac{4\sqrt{S(\nu )}}{(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}\frac{\partial }{\partial \nu }\left[\sqrt{S(\nu )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu }\right]\end{array}$

A további differenciáloperátorok, mint $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ és $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ kifejezhetők a $(\lambda ,\mu ,\nu )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Szögparaméterezés

Egy alternatív paraméterezés a gömbkoordináták szögparaméterezését követi:

$x=as\sin \theta \cos \varphi ,$

$y=bs\sin \theta \sin \varphi ,$

$z=cs\cos \theta .$

Ahol $s>0$ paraméterezi az origó körüli koncentrikus ellipszoidokat, és $\theta \in [0,\pi ]$ illetve $\varphi \in [0,2\pi ]$ rendre a polárszög és az azimut. A megfelelő térfogatelem:

$dxdydz=abc{s}^2\sin \theta dsd\theta d\varphi .$

Források

• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book
• Sablon:Cite book Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.