Elektromos kapacitás

Az elektromos kapacitás vagy röviden kapacitás a kondenzátort, a több kondenzátorból álló kétpólust, illetve a magában álló, környezetétől elszigetelt elektromos vezetőt jellemző fizikai mennyiség. Jele a latin capacitas (befogadóképesség, tárolóképesség) alapján C. A kapacitás SI-mértékegysége a farad (F).

Kondenzátor kapacitása

Kapacitás elvének szemléltetése

Több féle kondenzátor

A kondenzátor két vezetőből, és a köztük elhelyezkedő szigetelőből álló elektromos alkatrész. A két vezetőt fegyverzetnek nevezik. Az egyik fegyverzeten található töltésmennyiség és a fegyverzetek közötti feszültség hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget a kondenzátor kapacitásának nevezzük. Képlettel:

$C=\frac{Q}{U}$.

A kondenzátor kapacitása függ a fegyverzetek méreteitől, azok egymáshoz viszonyított helyzetétől és távolságától, továbbá a fegyverzeteket körülvevő (egyszerűbb esetekben a fegyverzetek között található) szigetelőanyag (dielektrikum) permittivitásától.

Több kondenzátorból álló kétpólus kapacitása

A kétpólus olyan elektromos áramkör, amelynek két kivezetése (csatlakozópontja) van. Több kondenzátorból álló kétpólus esetén az egyik kivezetésén található töltésmennyiség és a két kivezetés közti feszültség hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget a kétpólus kapacitásának nevezzük. Képlettel:

$C=\frac{Q}{U}$.

Magában álló, környezetétől elszigetelt vezető kapacitása

A kapacitás egy magában álló, környezetétől elszigetelt vezető esetén is hasonlóan értelmezhető, mint a kondenzátor kapacitása. Ilyenkor úgy tekintjük, hogy a vizsgált vezető az egyik fegyverzet, a másik pedig ettől végtelen távol van, és így a feszültség szerepét a végtelen távoli ponthoz viszonyított feszültség, azaz a potenciál veszi át. Ennek megfelelően: A magában álló, környezetétől elszigetelt vezető esetén a vezetőn levő töltésmennyiség és a potenciál hányadosaként értelmezett fizikai mennyiséget a vezető kapacitásának nevezzük. Képlettel:

$C=\frac{Q}{U}$.

A magában álló, környezetétől elszigetelt vezető kapacitása függ a méreteitől, továbbá a vezetőt körülvevő szigetelőanyag (dielektrikum) permittivitásától.

A kapacitás mértékegységei

A kapacitás SI-mértékegysége a farad (ejtsd: farád), jele: F. Az elnevezés Michael Faraday angol fizikus nevéből származik. A kapacitás definíciójából adódóan:

$[C]=\frac{[Q]}{[U]}=\frac{\text{C}}{\text{V}}=\text{F}$.

A farad az SI-alapegységekkel kifejezve:

$\mathrm{F}={\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{k}\mathrm{g}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^4\cdot {\mathrm{A}}^2$.

A Föld kapacitása

A kapacitás további, a gyakorlatban használt SI-egységei a mikrofarad, a nanofarad és pikofarad. Az SI-ben használt prefixumok értékeinek megfelelően:

Név	Jel	Értéke
mikrofarad	µF	Sablon:Adat	Sablon:Adat
nanofarad	nF	Sablon:Adat	Sablon:Adat
pikofarad	pF	Sablon:Adat	Sablon:Adat

Azt, hogy a farad a gyakorlatban túlzottan nagynak bizonyult, jól szemlélteti, hogy a Sablon:Adat sugarú vezető gömbnek tekinthető Föld kapacitása is csupán Sablon:Adat.

5000 cm kapacitású kondenzátor

A kapacitás CGS-mértékegysége a centiméter. A centiméter és a farad (illetve a pikofarad) közti kapcsolat:

1 cm ≈ 1,11·10⁻¹² F,

azaz

1 cm ≈ 1,11 pF.

Definíció szerint pontosan Sablon:Adat a kapacitása egy vákuumban elhelyezkedő Sablon:Adat sugarú fémgömbnek, az {R} cm sugarú gömb kapacitása pedig {R} cm. (Itt az {R} jelölés az R sugár centiméterben megadott értékének a mérőszámát jelenti.)

Néhány egyszerű rendszer kapacitása

Típus	Képlet	Magyarázat
Síkkondenzátor	$C=\epsilon \cdot \frac{A}{d}$
Körlap	$8\cdot \epsilon \cdot R$
Gömb	$C=4\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot R$
Gömbkondenzátor	$C=\frac{4\cdot \pi \cdot \epsilon }{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}$
Hengerkondenzátor (koaxiális kábel)	$C=2\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot \frac{l}{\ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)}$
Két párhuzamos vezeték	$C=\frac{\pi \cdot \epsilon \cdot l}{\mathrm{arcosh}\left(\frac{d}{2\cdot R}\right)}$
Síkkal párhuzamos vezeték	$C=\frac{2\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot l}{\mathrm{arcosh}\left(\frac{d}{R}\right)}$
Két gömb, egyenlő sugáral	$C=2\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot R\cdot \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sinh (\ln (D+\sqrt{D^2-1}))}{\sinh (n\ln (D+\sqrt{D^2-1}))}=$ $=2\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot R\cdot \{1+\frac{1}{2\cdot D}+\frac{1}{4\cdot D^2}+\frac{1}{8\cdot D^3}+\frac{1}{8\cdot D^4}+\frac{3}{32\cdot D^5}+𝒪\left(\frac{1}{D^6}\right)\}=$ $=2\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot R\cdot \{\ln 2+\gamma -\frac{1}{2}\ln (2\cdot D-2)+𝒪(2\cdot D-2)\}$ $C\approx 2\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot R\cdot (1+\frac{R}{d})$	$D=\frac{d}{2\cdot R}>1$ $\gamma$: Euler–Mascheroni-állandó
Gömb és sík	$C=4\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot R\cdot \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sinh (\ln (D+\sqrt{D^2-1}))}{\sinh (n\ln (D+\sqrt{D^2-1}))}$ $C\approx 4\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot R\cdot (1+\frac{R}{2\cdot d})$	$D=\frac{d}{R}>1$
Vékony huzal	$C=\frac{2\cdot \pi \cdot \epsilon \cdot l}{\mathrm{\Lambda }}\cdot \{1+\frac{1}{\mathrm{\Lambda }}\cdot (1-\ln 2)+\frac{1}{{\mathrm{\Lambda }}^2}\cdot [1+{(1-\ln 2)}^2-\frac{{\pi }^2}{12}]+𝒪\left(\frac{1}{{\mathrm{\Lambda }}^3}\right)\}$	$\mathrm{\Lambda }=ln\left(\frac{l}{a}\right)$

Megjegyzés: Az ε minden képletben a szigetelő permittivitását jelöli.

Kondenzátorokból álló kétpólus eredő kapacitása

Az eredő kapacitás fogalma

Igazolható, hogy a kondenzátorokból álló kétpólus helyettesíthető egyetlen kondenzátorral úgy, hogy a kétpólust tartalmazó áramkör többi részén a helyettesítés következtében semmiféle változás ne történjen. Annak a kondenzátornak a kapacitását, amellyel a kétpólusú kondenzátorrendszer ily módon helyettesíthető, a rendszer (kétpólus) eredő kapacitásának nevezzük. Az eredő kapacitás jele C_e, de ha nem okoz félreértést, egyszerűen csak C-vel jelöljük. Belátható, hogy a kondenzátorokból álló kétpólus kapacitása ugyanakkora, mint az eredő kapacitása.

Párhuzamos kapcsolás

Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása

Kondenzátorok párhuzamos kapcsolásánál minden kondenzátor egyik kivezetése a rendszer egyik kivezetéséhez, a másik kivezetése pedig a rendszer másik kivezetéséhez csatlakozik. Mérésekkel, illetve elméleti úton is igazolható, hogy párhuzamos kapcsolásnál a rendszer eredő kapacitása ugyanakkora, mint az egyes kondenzátorok kapacitásának összege. Képlettel:

$C_{\mathrm{e}}=C_1+C_2+...+C_{\mathrm{n}}$.

Speciálisan n db C kapacitású kondenzátor párhuzamos kapcsolásánál az eredő kapacitás:

$C_{\mathrm{e}}=n\cdot C$.

Soros kapcsolás

Kondenzátorok soros kapcsolása

Kondenzátorok soros kapcsolásánál az egyes kondenzátorok elágazás nélkül kapcsolódnak egymáshoz. A rendszer két kivezetését az első és az utolsó kondenzátor szabadon maradó kivezetései alkotják. Mérésekkel, illetve elméleti úton is igazolható, hogy soros kapcsolásnál a rendszer eredő kapacitásának reciproka ugyanakkora, mint az egyes kondenzátorkapacitások reciprokának összege. Képlettel:

$\frac{1}{C_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+...+\frac{1}{C_{\mathrm{n}}}$.

Speciálisan n db C kapacitású kondenzátor soros kapcsolásánál az eredő kapacitás:

$C_{\mathrm{e}}=\frac{C}{n}$.

Igazolható, hogy két kondenzátor soros kapcsolásánál az eredő kapacitás közvetlenül az

$C_{\mathrm{e}}=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}$

összefüggés alapján is kiszámítható.

Kondenzátor által tárolt energia

$W=\frac{1}{2}C{U}^2$

Kapcsolódó szócikkek

• Kondenzátor (áramköri alkatrész)
• Változtatható kapacitású kondenzátor
• Dielektrikum
• Permittivitás
• Dielektromos állandó

Források

• Budó Ágoston: Kísérleti fizika II., Budapest, Tankönyvkiadó, 1971.
• Hans Breuer: SH atlasz – Fizika, Budapest, Springer-Verlag, 1993, Sablon:ISBN
• ifj. Zátonyi Sándor: Fizika 10., Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2009. Sablon:ISBN

További információk

• Fizikakönyv.hu – Elektrosztatika